Дано:

v_1 = 4 км/ч — скорость на подъёме
v_2 = 12 км/ч — скорость на спуске
длина подъёма равна длине спуска

Найти:

v_{\text{ср}} — средняя скорость на всём пути

Решение:

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Пусть длина горы равна L (вверх и вниз — одинаковый путь L):

v_{\text{ср}} = \frac{2L}{t_1 + t_2}, \qquad t_1 = \frac{L}{v_1}, \quad t_2 = \frac{L}{v_2}.

Подставляем и сокращаем L:

v_{\text{ср}} = \frac{2L}{\dfrac{L}{v_1} + \dfrac{L}{v_2}} = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}.

v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 12}{4 + 12} = \frac{96}{16} = 6\ \text{км/ч}.