L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00051512

Что тут происходит: ключ $K$ подключает к конденсатору $C$ то одну, то другую катушку. По схеме в положении 1 работает катушка $L$, в положении 2 — катушка $L_x$. Конденсатор один и тот же. Период уменьшился в 1,2 раза — нужно понять, во сколько раз отличаются индуктивности.

Период идеального контура — формула Томсона:

$$T=2\pi\sqrt{LC}.$$

Запишем периоды для двух положений ключа:

$$T_1=2\pi\sqrt{LC},\qquad T_2=2\pi\sqrt{L_xC}.$$

Разделим первый на второй: $2\pi$ и $C$ одинаковы и сокращаются, остаётся корень из отношения индуктивностей:

$$\dfrac{T_1}{T_2}=\sqrt{\dfrac{L}{L_x}}.$$

По условию $\dfrac{T_1}{T_2}=1{,}2$. Возведём обе части в квадрат:

$$\dfrac{L}{L_x}=1{,}2^2=1{,}44.$$

Индуктивность $L_x$ в 1,44 раза меньше $L$.

Проверим себя обратным ходом: если $L_x=\dfrac{L}{1{,}44}$, то $T_2=2\pi\sqrt{\dfrac{LC}{1{,}44}}=\dfrac{T_1}{1{,}2}$ — период действительно уменьшился в 1,2 раза. И по смыслу верно: меньшая индуктивность — более быстрые колебания.