Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048656

Что здесь происходит. Стержень закреплён шарниром на дне и стоит в воде наклонно. Значит, он легче воды: тяжёлый стержень просто лёг бы на дно. Вода выталкивает его вверх, шарнир держит нижний конец, а верхняя часть торчит над водой. Найдём, какая доля стержня под водой, а по ней — его плотность.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Стержень — твёрдое тело, а не точка: силы приложены в разных его местах, поэтому для равновесия нужны два условия — сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Стержень однородный, постоянного сечения — сила тяжести приложена в его середине. Вода покоится — на погружённую часть действует сила Архимеда, равная весу вытесненной воды и приложенная в центре погружённой части (её середине). Шарнир малых размеров, поэтому вода омывает стержень со всех сторон, в том числе снизу у нижнего конца — иначе давления снизу не было бы и закон Архимеда в таком виде не работал бы. Шарнир без трения не создаёт момента относительно своей оси. По третьему закону Ньютона стержень действует на шарнир с силой, равной по модулю и противоположной силе $\vec N$, с которой шарнир действует на стержень.

Обозначения: $L$ — длина стержня, $S$ — его сечение, $x$ — доля длины под водой, $\alpha$ — угол с вертикалью, $F_A$ — сила Архимеда, $N$ — сила шарнира.

Рисунок сил. На стержень: $m\vec g$ вниз в середине стержня; $\vec F_A$ вверх в середине погружённой части; $\vec N$ в точке $A$. Тяжесть и сила Архимеда вертикальны, значит и сила шарнира вертикальна — иначе ничто не уравновесило бы её горизонтальную часть.

Шаг 1 — правило моментов относительно шарнира $A$. Плечо тяжести $\dfrac{L}{2}\sin\alpha$, плечо силы Архимеда $\dfrac{xL}{2}\sin\alpha$:

$$mg\cdot\dfrac{L}{2}\sin\alpha=F_A\cdot\dfrac{xL}{2}\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad mg=xF_A.$$

Угол сократился — поэтому его и не дали.

Шаг 2 — сумма сил по вертикали. Сила Архимеда больше веса ($x\lt1$), поэтому шарнир тянет стержень вниз, а стержень тянет шарнир вверх с силой $F=N$:

$$F_A=mg+F=0{,}009\cdot10+0{,}16=0{,}09+0{,}16=0{,}25\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — доля под водой:

$$x=\dfrac{mg}{F_A}=\dfrac{0{,}09}{0{,}25}=0{,}36.$$

Шаг 4 — плотность. Распишем силы через плотности: $mg=\rho_{\text{с}}gSL$, $F_A=\rho gSxL$. Тогда

$$\dfrac{mg}{F_A}=\dfrac{\rho_{\text{с}}}{\rho x}=x\quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{с}}=\rho x^2=1000\cdot0{,}36^2=129{,}6\approx130\ \text{кг/м}^3.$$

В общем виде $\rho_{\text{с}}=\rho\left(\dfrac{mg}{mg+F}\right)^2$.

Проверим себя. Доля под водой $0{,}36\lt1$ — часть стержня действительно над водой; плотность $130\ \text{кг/м}^3$ меньше плотности воды — стержень и правда всплывает (так лёгок, например, пробковый или бальсовый стержень). Обратно: $\dfrac{F_A}{mg}=\dfrac{\rho x}{\rho_{\text{с}}}=\dfrac{1000\cdot0{,}36}{129{,}6}\approx2{,}78$, и $0{,}09\cdot2{,}78=0{,}25$ Н — сходится.