Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048639

Что здесь происходит. Кубическая ёмкость без крышки наполовину заполнена водой. Внук медленно наклоняет её вокруг нижнего ребра, пока вода не дойдёт до соседнего верхнего ребра и не начнёт переливаться. При этом поднимаются центры масс воды, дна и стенок. Работа внука уходит на то, чтобы поднять всё это.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с полом (Землёй), считаем инерциальной. Наклон очень медленный: скорости ёмкости и воды всё время практически равны нулю, кинетической энергии нет, а вода в каждый момент находится в равновесии — её поверхность горизонтальна. Ребро, вокруг которого поворачивают ёмкость, не сдвигается, поэтому сила, с которой пол действует на ёмкость, приложена к неподвижной точке и работы не совершает. Тогда по закону изменения механической энергии работа внука равна приращению потенциальной энергии системы «ёмкость + вода»: $A=\sum m_i g\,\Delta h_i$, где $\Delta h_i$ — подъём центра масс каждой части. Стенки и дно тонкие и однородные — центр масс каждой пластины в её середине; центр масс воды — в центре масс занятого ею объёма.

Шаг 1 — размер куба и масса воды. Вода занимает половину объёма: $a^3=2V=0{,}216$ м³, ребро $a=0{,}6$ м. Масса воды $M=\rho V=1000\cdot0{,}108=108$ кг.

Шаг 2 — положение в момент начала вытекания. Рассмотрим поперечное сечение куба — квадрат $PQSR$: $P$ — ребро, вокруг которого поворачивают, $PQ$ — стенка над ним, $Q$ — верхнее ребро, через которое польётся вода, $PR$ — дно. Когда вода начинает выливаться, её горизонтальная поверхность проходит через $Q$ и при этом отрезает ровно половину квадрата. Прямая через вершину, делящая квадрат пополам, обязана пройти через его центр, а значит — через противоположную вершину $R$. Поверхность воды — диагональ $QR$, и она горизонтальна: куб повёрнут на $45^\circ$ и стоит на ребре $P$, вершины $Q$ и $R$ на высоте $\dfrac{a}{\sqrt2}$, верхняя вершина $S$ — на высоте $a\sqrt2$. Вода занимает треугольник $PQR$.

Шаг 3 — подъёмы центров масс.

Дно $PR$: было на полу, его середина теперь посередине между $P$ (высота $0$) и $R$ (высота $\dfrac{a}{\sqrt2}$): $\Delta h_{\text{д}}=\dfrac{a}{2\sqrt2}\approx0{,}354\cdot0{,}6\approx0{,}212$ м.

Стенки: в начале центр каждой на высоте $\dfrac a2=0{,}3$ м. Две стенки, параллельные сечению, своими центрами совпадают с центром куба: он поднялся до $\dfrac{a}{\sqrt2}\approx0{,}424$ м. Стенка $PQ$ теперь имеет центр на высоте $\dfrac{a}{2\sqrt2}\approx0{,}212$ м — она опустилась, а стенка $RS$ — на высоте $\dfrac{3a}{2\sqrt2}\approx0{,}636$ м. Средняя высота центров $PQ$ и $RS$ — тоже $\dfrac{a}{\sqrt2}$. Значит, в сумме четыре стенки поднимаются так, будто каждая поднялась на $\Delta h_{\text{ст}}=\dfrac{a}{\sqrt2}-\dfrac a2\approx0{,}424-0{,}3=0{,}124$ м.

Вода: в начале слой высотой $\dfrac a2$, центр масс на $\dfrac a4=0{,}15$ м. В конце — треугольник $PQR$, центр масс на средней высоте вершин: $\dfrac{0+\frac{a}{\sqrt2}+\frac{a}{\sqrt2}}{3}=\dfrac{a\sqrt2}{3}\approx0{,}283$ м. Подъём $\Delta h_{\text{в}}\approx0{,}283-0{,}15=0{,}133$ м.

Шаг 4 — работа.

$$A=mg\,\Delta h_{\text{д}}+4mg\,\Delta h_{\text{ст}}+Mg\,\Delta h_{\text{в}}.$$

$$A\approx40\cdot0{,}212+160\cdot0{,}124+1080\cdot0{,}133\approx8{,}5+19{,}9+143{,}5\approx172\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. Главный вклад даёт вода: она в $27$ раз тяжелее одной стенки, и на неё приходится $143{,}5$ Дж из $172$. Подъём её центра масс меньше четверти ребра ($0{,}133$ м против $0{,}15$ м) — правдоподобно: вода не поднимается целиком, а лишь перетекает к ребру $P$ и выстраивается треугольником.