Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048641

Что здесь происходит. Горизонтальная палочка лежит на ребре призмы, как на качелях. Слева к ней подвешен блок, через который перекинута нить с двумя разными грузами: грузы движутся — тяжёлый вниз, лёгкий вверх. Справа висит груз $M$. Палочка при этом остаётся в равновесии. Нужно найти её массу.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Грузы считаем материальными точками и применяем к ним второй закон Ньютона. Нить через блок лёгкая и нерастяжимая — ускорения грузов $m_1$ и $m_2$ равны по модулю, а натяжение одинаково по всей нити. Блок невесомый и вращается без трения — натяжения по обе стороны блока равны, а на его ось нить действует с силой $2T$; эту силу лёгкие нити передают левому концу палочки. Груз $M$ покоится — натяжение его нити равно $Mg$. Палочка — абсолютно твёрдое тело в равновесии: сумма моментов сил относительно ребра призмы равна нулю (сила реакции ребра проходит через ось и момента не создаёт). Палочка однородная — её сила тяжести приложена в середине.

Рисунок сил. На $m_1$: $m_1\vec g$ вниз, $\vec T$ вверх. На $m_2$: $m_2\vec g$ вниз, $\vec T$ вверх. На $M$: $M\vec g$ вниз, натяжение $Mg$ вверх. На палочку: $2T$ вниз на левом конце, $m\vec g$ вниз в середине, $Mg$ вниз на правом конце, реакция ребра $\vec N$ вверх в точке опоры.

Шаг 1 — грузы на блоке. Тяжёлый $m_2$ опускается, лёгкий $m_1$ поднимается с тем же ускорением $a$:

$$m_2g-T=m_2a,\qquad T-m_1g=m_1a.$$

Складываем: $a=\dfrac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}=\dfrac{0{,}3\cdot10}{1{,}5}=2$ м/с². Тогда $T=m_1(g+a)=0{,}6\cdot12=7{,}2$ Н. На ось блока — $2T=14{,}4$ Н. Это меньше суммарного веса грузов $15$ Н: грузы движутся с ускорениями, и нить держит их «не полностью».

Шаг 2 — плечи. Палочку делим на $10$ равных частей длиной $\dfrac{l}{10}$. Середина — на $5$ частях от левого конца, опора — на $\dfrac{l}{10}$ левее середины, то есть на $4$ частях. Плечи относительно опоры: левый конец — $4\cdot\dfrac{l}{10}$, середина палочки (её сила тяжести) — $1\cdot\dfrac{l}{10}$ вправо, правый конец — $6\cdot\dfrac{l}{10}$.

Шаг 3 — правило моментов относительно ребра призмы. Слева поворачивает сила $2T$, справа — сила тяжести палочки и груз $M$:

$$2T\cdot4=mg\cdot1+Mg\cdot6\quad\Rightarrow\quad 14{,}4\cdot4=10m+9\cdot6.$$

$$57{,}6=10m+54\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{3{,}6}{10}=0{,}36\ \text{кг}.$$

В общем виде $m=\dfrac{16m_1m_2}{m_1+m_2}-6M$.

Проверим себя. Если бы грузы на блоке не двигались (были бы одинаковыми), блок тянул бы с силой полного веса $15$ Н, и для равновесия справа понадобилось бы больше: при том же $M$ палочка была бы тяжелее, $m=\dfrac{15\cdot4-54}{10}=0{,}6$ кг. У нас блок тянет слабее, поэтому палочка легче — $0{,}36$ кг.