Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048640

Что здесь происходит. Наполовину полную открытую кубическую ёмкость медленно наклоняют вокруг нижнего ребра, пока вода не подойдёт к соседнему верхнему ребру. Механическая энергия системы «ёмкость + вода» растёт, потому что поднимаются центры масс воды, дна и стенок. Требуется оценка — круглые значения допустимы.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с полом (Землёй), считаем инерциальной. Наклон очень медленный, поэтому кинетическая энергия всё время пренебрежимо мала и механическая энергия системы — это её потенциальная энергия. Вода перетекает внутри ёмкости, но в каждый момент находится в равновесии (поверхность горизонтальна), поэтому её потенциальная энергия определяется только высотой её центра масс: $Mgh_{\text{в}}$. Пластины тонкие и однородные — центр масс каждой в её середине. Итак, $\Delta E=\sum m_ig\,\Delta h_i$.

Шаг 1 — ребро куба (оценка). Вода занимает половину куба: $a^3=2V=0{,}126$ м³. Так как $0{,}5^3=0{,}125$, ребро $a\approx0{,}50$ м. Масса воды $M=63$ кг.

Шаг 2 — когда вода начинает выливаться. В поперечном сечении куб — квадрат. Горизонтальная поверхность воды должна пройти через верхнее ребро, через которое польётся вода, и при этом отсечь ровно половину квадрата. Прямая, делящая квадрат пополам, проходит через его центр, поэтому поверхность воды — диагональ сечения. Диагональ горизонтальна, значит, куб повёрнут на $45^\circ$ и стоит на ребре $P$. Концы диагонали — на высоте $\dfrac{a}{\sqrt2}\approx0{,}354$ м, центр куба — на той же высоте, верхняя вершина — на $a\sqrt2$.

Шаг 3 — подъёмы центров масс.

Дно поднялось одним краем: один его конец остался на полу (ребро $P$), другой — на высоте $\dfrac{a}{\sqrt2}$, середина — на $\Delta h_{\text{д}}=\dfrac{a}{2\sqrt2}\approx0{,}177$ м.

Стенок четыре, крышки нет. Две стенки, параллельные сечению, поднимаются вместе с центром куба: с $\dfrac a2=0{,}25$ м до $\dfrac{a}{\sqrt2}\approx0{,}354$ м. Две другие стенки (над ребром $P$ и напротив) — одна опускается до $\dfrac{a}{2\sqrt2}\approx0{,}177$ м, другая поднимается до $\dfrac{3a}{2\sqrt2}\approx0{,}530$ м; их средняя высота $\approx0{,}354$ м — ровно высота центра куба. Поэтому каждая стенка «в среднем» поднимается на $\Delta h_{\text{ст}}=\dfrac{a}{\sqrt2}-\dfrac a2\approx0{,}104$ м.

Вода была слоем высотой $\dfrac a2$ с центром масс на $\dfrac a4=0{,}125$ м, а стала треугольником в сечении с вершинами на высотах $0$, $\dfrac{a}{\sqrt2}$, $\dfrac{a}{\sqrt2}$; центр масс — на $\dfrac{a\sqrt2}{3}\approx0{,}236$ м. Подъём $\Delta h_{\text{в}}\approx0{,}236-0{,}125=0{,}111$ м.

Шаг 4 — прирост энергии.

$$\Delta E=mg\,\Delta h_{\text{д}}+4mg\,\Delta h_{\text{ст}}+Mg\,\Delta h_{\text{в}}\approx30\cdot0{,}177+120\cdot0{,}104+630\cdot0{,}111\approx5{,}3+12{,}4+69{,}7\approx87\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. Одна вода дала бы около $70$ Дж; ёмкость добавляет около $18$ Дж — заметно, но меньше вклада воды, ведь пять пластин по $3$ кг вместе в $4$ раза легче воды. Если взять ребро точнее, $a=\sqrt[3]{0{,}126}\approx0{,}501$ м, оценка станет $\approx88$ Дж — для оценки это то же самое.