Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048638

Что здесь происходит. Стержень висит на шарнире $A$ за верхний конец. Нижний конец $B$ тянут вбок горизонтальной силой $F=4$ Н, и стержень отклоняется от вертикали на угол $\alpha$ с $\mathrm{tg}\,\alpha=0{,}8$. Масса стержня не дана — её придётся найти из равновесия, а потом сложить силы, которыми шарнир держит стержень.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй (с шарниром), считаем инерциальной. Стержень — абсолютно твёрдое тело в равновесии, поэтому для него равны нулю и сумма сил, и сумма моментов сил относительно любой оси. Стержень однородный и постоянного сечения — его сила тяжести приложена в середине. Шарнир без трения: он может действовать на стержень силой любого направления в плоскости рисунка, но момента сил трения не создаёт, поэтому относительно оси шарнира его сила момента не даёт. По третьему закону Ньютона стержень действует на шарнир с силой, равной по модулю силе шарнира $R$.

Рисунок сил. На стержень: $m\vec g$ вниз в середине; $\vec F$ горизонтально в точке $B$ (вправо, как на рисунке); сила шарнира $\vec R$ в точке $A$ с горизонтальной составляющей $R_x$ (влево) и вертикальной $R_y$ (вверх).

Шаг 1 — правило моментов относительно шарнира $A$. Длину стержня обозначим $L$. Плечо горизонтальной силы $F$ — вертикальное расстояние от $A$ до $B$: $L\cos\alpha$. Плечо силы тяжести — горизонтальное расстояние от $A$ до середины: $\dfrac{L}{2}\sin\alpha$. Сила $F$ поворачивает стержень в одну сторону, сила тяжести — в другую:

$$FL\cos\alpha=mg\dfrac{L}{2}\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad mg=\dfrac{2F}{\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{2\cdot4}{0{,}8}=10\ \text{Н}.$$

Шаг 2 — равновесие сил. По горизонтали: $R_x=F=4$ Н. По вертикали: $R_y=mg=10$ Н. Модуль силы шарнира — гипотенуза:

$$R=\sqrt{F^2+(mg)^2}=F\sqrt{1+\dfrac{4}{\mathrm{tg}^2\alpha}}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}\approx10{,}8\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — ответ. По третьему закону Ньютона стержень действует на шарнир с силой того же модуля: $P=R\approx10{,}8$ Н.

Проверим себя. Если на тело действуют три непараллельные силы и оно в равновесии, их линии пересекаются в одной точке. Горизонталь через $B$ и вертикаль через середину стержня пересекаются в точке, которая отстоит от $A$ на $\dfrac{L}{2}\sin\alpha$ по горизонтали и на $L\cos\alpha$ по вертикали. Отношение $\dfrac{0{,}5\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{0{,}8}{2}=0{,}4$ — ровно $\dfrac{R_x}{R_y}=\dfrac{4}{10}$. Сила шарнира направлена именно туда — расчёт верен.