Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048635

Что здесь происходит. Тяжёлая балка висит на двух вертикальных тросах за концы $A$ и $B$. Балка неоднородная, поэтому её центр тяжести не в середине, а на расстоянии $x=116$ см от $A$. Ближе к концу $A$ подвесили груз $40$ кг — и тросы оказались натянуты одинаково. По этому равенству нужно найти длину балки.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Балку считаем абсолютно твёрдым телом: она покоится и не поворачивается, поэтому для неё одновременно равны нулю сумма сил и сумма моментов сил относительно любой оси. Балка неоднородная — её сила тяжести приложена в центре тяжести, на расстоянии $x$ от $A$. Груз покоится, его можно считать материальной точкой: на него действуют сила тяжести $mg$ и натяжение верёвки, значит, натяжение верёвки равно $mg$. Верёвка лёгкая, поэтому балку в точке подвеса она тянет вниз с той же силой $mg$. Тросы вертикальны (см. рисунок), их натяжения по условию одинаковы и равны $T$.

Рисунок сил. На балку: две силы натяжения тросов $\vec T$ вверх в точках $A$ и $B$; сила тяжести балки $M\vec g$ вниз в центре тяжести (на расстоянии $x$ от $A$); сила натяжения верёвки груза вниз, по модулю $mg$, на расстоянии $d$ от $A$. На груз: $m\vec g$ вниз и натяжение верёвки вверх.

Шаг 1 — равновесие сил. Вверх действуют два одинаковых натяжения, вниз — силы тяжести балки и груза:

$$2T=(M+m)g\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{(100+40)\cdot10}{2}=700\ \text{Н}.$$

Шаг 2 — правило моментов относительно точки $A$. Натяжение троса в $A$ проходит через ось и момента не даёт. Против часовой стрелки поворачивает только трос в $B$ с плечом $L$, по часовой — груз с плечом $d$ и сила тяжести балки с плечом $x$:

$$TL=mgd+Mgx.$$

Подставим ($d=0{,}6$ м, $x=1{,}16$ м): $mgd=400\cdot0{,}6=240$ Н·м, $Mgx=1000\cdot1{,}16=1160$ Н·м, сумма $1400$ Н·м. Тогда

$$L=\dfrac{1400}{700}=2\ \text{м}.$$

В общем виде $L=\dfrac{2(md+Mx)}{M+m}$.

Проверим себя. Моменты относительно точки $B$: трос в $A$ даёт $TL=700\cdot2=1400$ Н·м, груз — $mg(L-d)=400\cdot1{,}4=560$ Н·м, балка — $Mg(L-x)=1000\cdot0{,}84=840$ Н·м; $560+840=1400$ — сходится. И по смыслу: груз висит левее середины ($0{,}6$ м против $1$ м), а тросы натянуты одинаково, — значит, центр тяжести самой балки обязан лежать правее середины. Так и есть: $1{,}16$ м больше $1$ м.