Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048643

Что здесь происходит. Цилиндр из двух частей лежит на шероховатой наклонной плоскости. На внутренний цилиндр радиусом $r$ намотана нить, которая сходит с него сверху горизонтально и привязана к стенке. Цилиндр покоится: его держат нить, реакция плоскости и трение. Нужно найти, на сколько реакция плоскости больше натяжения нити.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй (с наклонной плоскостью и стенкой), считаем инерциальной. Цилиндр — абсолютно твёрдое тело в покое, поэтому для него равны нулю и сумма сил, и сумма моментов сил относительно любой оси. Цилиндр однородный — центр масс на его оси, туда приложена сила тяжести; плоскость нити проходит через центр масс, поэтому все силы лежат в одной вертикальной плоскости и задача плоская. Нить лёгкая и горизонтальная — натяжение $\vec T$ направлено горизонтально к стенке и приложено в точке, где нить сходит с внутреннего цилиндра, — на высоте $r$ над осью. Плоскость шероховатая: в точке касания $K$ на цилиндр действуют сила нормальной реакции $\vec N$ (перпендикулярно плоскости, через ось) и сила трения покоя $\vec F_{\text{тр}}$ (вдоль плоскости); трение покоя не обязано быть равным $\mu N$ — его значение даёт равновесие.

Геометрия: $\sin\alpha=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{0{,}9}{1{,}5}=0{,}6$, $\cos\alpha=0{,}8$. Ось цилиндра $O$ отстоит от точки касания $K$ на $R$ по перпендикуляру к плоскости: по горизонтали на $R\sin\alpha$ (в сторону подножия $A$), по вертикали на $R\cos\alpha$.

Рисунок сил. На цилиндр: $m\vec g$ вниз из оси $O$; $\vec T$ горизонтально к стенке из верхней точки внутреннего цилиндра; $\vec N$ из точки касания перпендикулярно плоскости (через ось); $\vec F_{\text{тр}}$ из точки касания вдоль плоскости.

Шаг 1 — моменты относительно точки касания $K$. Через $K$ проходят и $\vec N$, и $\vec F_{\text{тр}}$ — их моменты равны нулю. Сила тяжести (вертикальная, через $O$) имеет плечо $R\sin\alpha$, натяжение (горизонтальное, на высоте $R\cos\alpha+r$ над $K$) — плечо $R\cos\alpha+r$; они поворачивают цилиндр в разные стороны:

$$mgR\sin\alpha=T(R\cos\alpha+r)\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{mgR\sin\alpha}{R\cos\alpha+r}=\dfrac{55\cdot0{,}15\cdot0{,}6}{0{,}12+0{,}10}=\dfrac{4{,}95}{0{,}22}=22{,}5\ \text{Н}.$$

Шаг 2 — проекция на перпендикуляр к плоскости. Трение туда не входит. Сила тяжести прижимает цилиндр составляющей $mg\cos\alpha$, а горизонтальная нить — составляющей $T\sin\alpha$ (она тянет цилиндр к стенке, то есть «в склон»):

$$N=mg\cos\alpha+T\sin\alpha=55\cdot0{,}8+22{,}5\cdot0{,}6=44+13{,}5=57{,}5\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — проекция на направление вдоль плоскости (вверх по склону). Нить даёт $T\cos\alpha$ вверх, сила тяжести — $mg\sin\alpha$ вниз, недостающее добавляет трение:

$$F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha-T\cos\alpha=33-18=15\ \text{Н}$$

— знак плюс, значит, трение направлено вверх по склону.

Шаг 4 — ответ. $N-T=57{,}5-22{,}5=35$ Н. В общем виде $N-T=mg\dfrac{R(1-\sin\alpha)+r\cos\alpha}{R\cos\alpha+r}$.

Проверим себя моментами относительно оси $O$: натяжение даёт $Tr=22{,}5\cdot0{,}10=2{,}25$ Н·м, трение — $F_{\text{тр}}R=15\cdot0{,}15=2{,}25$ Н·м, и поворачивают они в разные стороны — равновесие выполнено. Чтобы трение покоя смогло дать $15$ Н при $N=57{,}5$ Н, нужен коэффициент трения не меньше $\dfrac{15}{57{,}5}\approx0{,}26$ — обычное значение для шероховатой поверхности.