Задание 26 ЕГЭ по физике №00048648

Что здесь происходит. Шайба неизвестной массы съезжает по жёлобу с высоты $6$ м и теряет на трение $2$ Дж. Из точки $B$ она вылетает под углом $15^\circ$ и пролетает $2$ м до точки $D$ на той же высоте. Полёт подскажет скорость вылета, а баланс энергии — массу.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шайбу считаем материальной точкой — её размеры малы по сравнению с высотой и дальностью. На жёлобе реакция перпендикулярна движению и работы не совершает, трение совершает отрицательную работу — механическая энергия уменьшается ровно на $\Delta E$ (закон изменения механической энергии). В полёте сопротивления нет, действует только сила тяжести, поэтому ускорение постоянно и равно $g$ при любой массе: по горизонтали движение равномерное, по вертикали — равноускоренное.

Шаг 1 — время полёта. Пусть скорость в $B$ равна $v$. Вертикальная составляющая $v\sin\alpha$ гасится тяжестью за время $\dfrac{v\sin\alpha}{g}$, столько же длится спуск до уровня $B$, поэтому

$$t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}.$$

Шаг 2 — скорость по дальности. По горизонтали скорость $v\cos\alpha$ не меняется:

$$BD=v\cos\alpha\cdot\dfrac{2v\sin\alpha}{g}=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}\quad\Rightarrow\quad v^2=\dfrac{g\cdot BD}{\sin2\alpha}=\dfrac{10\cdot2}{0{,}5}=40\ \text{м}^2/\text{с}^2.$$

Шаг 3 — баланс энергии. Нулевой уровень — горизонталь $BD$. В $A$ шайба покоится на высоте $H$, в $B$ имеет кинетическую энергию по полной скорости $v$:

$$mgH=\dfrac{mv^2}{2}+\Delta E.$$

Здесь масса не сокращается: потеря $\Delta E$ дана в джоулях, а не «на килограмм». Выносим $m$:

$$m\left(gH-\dfrac{v^2}{2}\right)=\Delta E\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{\Delta E}{gH-\dfrac{v^2}{2}}=\dfrac{2}{60-20}=\dfrac{2}{40}=0{,}05\ \text{кг}.$$

Проверим себя. На каждый килограмм шайба теряет $\dfrac{\Delta E}{m}=\dfrac{2}{0{,}05}=40$ Дж/кг, а запас на килограмм в точке $A$ — $gH=60$ Дж/кг: потеря меньше запаса, остаётся $20$ Дж/кг $=\dfrac{v^2}{2}$ — сходится с полётом. Масса $50$ г — небольшая, но условие «массивная» тут означает лишь, что шайбу можно считать материальной точкой, на которую почти не действует воздух.