Задание 26 ЕГЭ по физике №00048605

Что здесь происходит. Сжатая пружина разгоняет шарик внутри наклонного ствола. Пока шарик едет по стволу длиной $b$, он ещё и поднимается. Вылетев из дула, шарик летит по параболе и падает на том же уровне, что и дуло, на расстоянии $L$ от него. Задача из двух кусков: по дальности полёта найдём скорость вылета, а по закону сохранения энергии — энергию пружины.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шарик — материальная точка. Пружина лёгкая: её собственной массой и кинетической энергией пренебрегаем, вся её энергия передаётся шарику. Трения о стенки ствола нет, а сила реакции стенок перпендикулярна движению и работы не совершает, поэтому механическая энергия системы «пружина + шарик» на участке ствола сохраняется: энергия сжатой пружины переходит в кинетическую и потенциальную энергию шарика. Сила пружины по ходу движения меняется, поэтому формулами равноускоренного движения в стволе пользоваться нельзя — а закон сохранения энергии от этого не зависит. После вылета на шарик действует только сила тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем): по горизонтали он движется равномерно, по вертикали — равноускоренно с ускорением $g$.

Шаг 1 — полёт. Скорость вылета $v$ направлена вдоль ствола, под углом $\alpha$ к горизонту. Время подъёма до верхней точки равно времени спуска до уровня дула, поэтому время полёта $t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}$. Дальность

$$L=v\cos\alpha\cdot t=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}\quad\Rightarrow\quad v^2=\dfrac{gL}{\sin2\alpha}=\dfrac{10\cdot1}{\sin90^\circ}=10\ \text{м}^2/\text{с}^2.$$

Шаг 2 — ствол. Пока шарик проходит путь $b$, он поднимается на $b\sin\alpha$. Закон сохранения энергии от сжатой пружины до вылета:

$$E_{\text{п}}=\dfrac{mv^2}{2}+mgb\sin\alpha=mg\left(\dfrac{L}{2\sin2\alpha}+b\sin\alpha\right).$$

Шаг 3 — числа ($m=0{,}1$ кг):

$$E_{\text{п}}=\dfrac{0{,}1\cdot10}{2}+0{,}1\cdot10\cdot0{,}5\cdot0{,}707\approx0{,}5+0{,}354\approx0{,}85\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. На подъём внутри ствола ушло около $0{,}35$ Дж — меньше половины энергии пружины, остальное — кинетическая энергия вылета; при длине ствола $0{,}5$ м и наклоне $45^\circ$ подъём всего $0{,}35$ м, так что это правдоподобно. Если бы ствол был длиннее при той же дальности полёта, на подъём уходило бы больше, и пружина понадобилась бы мощнее.