Задание 26 ЕГЭ по физике №00048647

Что здесь происходит. Шайба соскальзывает по жёлобу с высоты $H=6$ м, по дороге часть механической энергии съедает трение. В точке $B$ она вылетает под углом $15^\circ$ к горизонту, летит и падает в точку $D$ на той же высоте. По дальности полёта узнаём скорость вылета, а по скорости — сколько энергии потеряно.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шайбу считаем материальной точкой: её размеры малы по сравнению с $H$ и $BD$. На жёлобе действуют сила тяжести, сила реакции и сила трения. Реакция перпендикулярна жёлобу и работы не совершает, а трение совершает отрицательную работу, поэтому на участке $AB$ механическая энергия не сохраняется: по закону изменения механической энергии её убыль равна $\Delta E$. В полёте сопротивления воздуха нет, на шайбу действует только сила тяжести, ускорение постоянно и равно $g$: по горизонтали шайба движется равномерно, по вертикали — равноускоренно.

Шаг 1 — скорость вылета по дальности. Пусть скорость в точке $B$ равна $v$. Её горизонтальная составляющая $v\cos\alpha$, вертикальная $v\sin\alpha$. Точки $B$ и $D$ на одной высоте, поэтому шайба поднимается и опускается одинаковое время, полное время полёта

$$t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}.$$

За это время по горизонтали она пролетает

$$BD=v\cos\alpha\cdot t=\dfrac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}.$$

У нас $2\alpha=30^\circ$, $\sin30^\circ=0{,}5$, поэтому

$$v^2=\dfrac{g\cdot BD}{\sin2\alpha}=\dfrac{10\cdot4}{0{,}5}=80\ \text{м}^2/\text{с}^2.$$

Шаг 2 — баланс энергии на жёлобе. Нулевой уровень потенциальной энергии — горизонталь $BD$. В точке $A$ шайба покоится на высоте $H$, в точке $B$ у неё только кинетическая энергия, причём считается она по полной скорости $v$, а не по её горизонтальной части. Убыль механической энергии:

$$\Delta E=mgH-\dfrac{mv^2}{2}.$$

Масса $m=100$ г $=0{,}1$ кг: $mgH=0{,}1\cdot10\cdot6=6$ Дж, $\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{0{,}1\cdot80}{2}=4$ Дж. Значит,

$$\Delta E=6-4=2\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. Без трения шайба вылетела бы с $v^2=2gH=120$ м²/с² и пролетела бы $\dfrac{120\cdot0{,}5}{10}=6$ м. На самом деле $BD=4$ м — меньше, значит, трение действительно отняло часть энергии: $\dfrac{4}{6}$ от $6$ Дж осталось в кинетической энергии, то есть $4$ Дж, потеряно $2$ Дж.