Задание 26 ЕГЭ по физике №00048645

Что здесь происходит. Пушка стоит на высоте $5$ м и стреляет горизонтально. При выстреле снаряд летит вперёд, а ствол откатывается назад и сжимает пружину. Пятая часть энергии отката уходит в пружину — по сжатию пружины узнаём энергию отката, по ней — скорость ствола, по импульсу — скорость снаряда, а дальше снаряд летит как тело, брошенное горизонтально.

Обоснование законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Снаряд и ствол движутся поступательно — считаем их материальными точками. Выстрел длится очень короткое время, а силы давления пороховых газов на снаряд и ствол (внутренние для системы «ствол + снаряд») огромны по сравнению с внешними горизонтальными силами — силой пружины, которая за это время почти не успевает сжаться, и трением в креплении. Поэтому горизонтальная проекция импульса системы при выстреле сохраняется, а до выстрела она была равна нулю. Энергия отката — кинетическая энергия ствола сразу после выстрела; по условию доля $\eta$ её переходит в потенциальную энергию сжатой пружины (остальное уходит в тепло в тормозах). Пружину считаем подчиняющейся закону Гука. После вылета на снаряд действует только сила тяжести (сопротивления воздуха нет): по горизонтали он летит равномерно, по вертикали — равноускоренно с ускорением $g$.

Шаг 1 — энергия пружины. Сжатие $x=1$ м, жёсткость $k=5\cdot10^3$ Н/м:

$$E_{\text{пр}}=\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{5000\cdot1^2}{2}=2500\ \text{Дж}.$$

Шаг 2 — энергия и скорость отката. Это пятая часть энергии ствола:

$$E_{\text{отд}}=\dfrac{E_{\text{пр}}}{\eta}=\dfrac{2500}{0{,}2}=12\,500\ \text{Дж},\qquad \dfrac{m_{\text{п}}U^2}{2}=E_{\text{отд}}\ \Rightarrow\ U=\sqrt{\dfrac{2\cdot12\,500}{800}}=\sqrt{31{,}25}\approx5{,}59\ \text{м/с}.$$

Шаг 3 — скорость снаряда по закону сохранения импульса. Импульсы снаряда и ствола после выстрела равны по модулю и противоположны:

$$mv=m_{\text{п}}U\quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{m_{\text{п}}U}{m}=\dfrac{800\cdot5{,}59}{8}\approx559\ \text{м/с}.$$

Шаг 4 — полёт. Снаряд вылетает горизонтально с высоты $h=5$ м. Вертикальной скорости вначале нет, поэтому время падения

$$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot5}{10}}=1\ \text{с}.$$

Горизонтальная скорость за это время не меняется, поэтому дальность

$$L=vt\approx559\cdot1=559\ \text{м}.$$

В общем виде: $L=\dfrac{x}{m}\sqrt{\dfrac{2hkm_{\text{п}}}{g\eta}}$.

Проверим себя. При равных импульсах кинетическая энергия тела обратно пропорциональна его массе: энергия снаряда должна быть в $\dfrac{800}{8}=100$ раз больше энергии отката, то есть $1{,}25\cdot10^6$ Дж. По найденной скорости: $\dfrac{8\cdot559^2}{2}\approx1{,}25\cdot10^6$ Дж — сходится.