Задание 26 ЕГЭ по физике №00048630

Что здесь происходит. Горка стоит на гладком столе и может свободно ездить. Шайба с высокой вершины ($2{,}5h=25$ м) соскальзывает влево, спускается в ложбину и поднимается на низкую вершину ($h=10$ м). Пока шайба давит на горку, горка отъезжает вправо. Часть потенциальной энергии шайбы достаётся горке, и чем тяжелее шайба по сравнению с горкой, тем больше эта часть. По скорости шайбы на низкой вершине найдём отношение масс.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной; скорости — относительно стола. Шайба — материальная точка, горка движется поступательно (по условию) и не отрывается от стола — её описываем одной горизонтальной скоростью $V$. Внешние силы, действующие на систему «шайба + горка», — силы тяжести и реакция гладкого стола — вертикальны, поэтому горизонтальная проекция импульса системы сохраняется; вначале система покоилась, значит, эта проекция равна нулю. Горка гладкая, шайба от неё не отрывается, сопротивления воздуха нет: силы давления шайбы и горки друг на друга — внутренние, их суммарная работа равна нулю, и механическая энергия системы сохраняется. На вершине касательная к горке горизонтальна, поэтому скорость шайбы относительно горки горизонтальна; горка тоже едет горизонтально — значит, и скорость шайбы относительно стола там горизонтальна.

Шаг 1 — импульс в момент, когда шайба на низкой вершине. Шайба едет влево со скоростью $v$, горка вправо со скоростью $V$:

$$0=mv-MV\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{m}{M}\,v.$$

Шаг 2 — энергия. Шайба опустилась с высоты $2{,}5h$ до $h$, то есть на $1{,}5h=15$ м:

$$mg\cdot1{,}5h=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}\left(1+\dfrac{m}{M}\right).$$

Шаг 3 — отношение масс. Делим на $\dfrac{mv^2}{2}$:

$$1+\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh}{v^2}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh}{v^2}-1=\dfrac{3\cdot10\cdot10}{100}-1=2.$$

Проверим себя. Горка в этот момент едет со скоростью $V=2v=20$ м/с — она вдвое легче шайбы и потому вдвое быстрее. Кинетические энергии: у шайбы $\dfrac{2M\cdot100}{2}=100M$, у горки $\dfrac{M\cdot400}{2}=200M$ (в джоулях, если $M$ в килограммах), в сумме $300M$. Убыль потенциальной энергии шайбы $2M\cdot10\cdot15=300M$ — сходится. Глубина ложбины между вершинами в ответ не вошла: законы сохранения связывают только начальное и конечное положения.