Задание 26 ЕГЭ по физике №00048646

Что здесь происходит. Два шарика, соединённые лёгким стержнем, лежат в гладкой сферической выемке. По рисунку тяжёлый шарик $M$ стоит в самой нижней точке, а лёгкий $m$ прижат к стенке на уровне центра выемки. Шарики отпускают: $m$ скатывается вниз, а $M$ при этом вынужден заезжать на противоположную стенку. Шарик $m$ опускается не до дна, а только до высоты $4$ см — там гантель на миг останавливается и едет обратно. По этой высоте нужно узнать, во сколько раз $M$ тяжелее $m$.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй (с выемкой), считаем инерциальной. Шарики небольшие — считаем их материальными точками. Стержень лёгкий — его собственную кинетическую и потенциальную энергию не учитываем. Выемка гладкая и неподвижная: её реакции перпендикулярны поверхности, а шарики движутся вдоль поверхности, поэтому работы эти силы не совершают. Стержень жёсткий: он толкает один шарик и тянет другой, но расстояние между шариками не меняется, поэтому суммарная работа сил стержня над двумя шариками равна нулю. Сопротивления воздуха нет. Значит, механическая энергия системы «два шарика» сохраняется.

Шаг 1 — геометрия. В начале радиус выемки к шарику $M$ направлен вертикально вниз, а радиус к шарику $m$ — горизонтально: угол между ними $90^\circ$. Стержень — хорда постоянной длины, а оба конца её лежат на одной сфере, поэтому треугольник «центр — шарик — шарик» не меняет формы, и угол между радиусами всё время остаётся $90^\circ$.

Пусть радиус к шарику $m$ отклонён от вертикали на угол $\varphi$. Тогда радиус к шарику $M$ отклонён в другую сторону на $90^\circ-\varphi$. Высоты над нижней точкой выемки:

$$h_m=R-R\cos\varphi,\qquad h_M=R-R\cos(90^\circ-\varphi)=R-R\sin\varphi.$$

Шаг 2 — крайнее положение. Шарики поворачиваются вокруг центра выемки на один и тот же угол, значит, их скорости в любой момент одинаковы по модулю. В самой низкой точке шарик $m$ останавливается — значит, в этот момент стоит и $M$, кинетическая энергия системы равна нулю.

Высота $m$ в этот момент $4$ см: $\cos\varphi=\dfrac{R-h_m}{R}=\dfrac{20-4}{20}=0{,}8$, тогда $\sin\varphi=\sqrt{1-0{,}8^2}=0{,}6$ и

$$h_M=R-R\sin\varphi=20-20\cdot0{,}6=8\ \text{см}.$$

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Нулевой уровень — нижняя точка выемки. В начале $m$ на высоте $R=20$ см, $M$ на высоте $0$, оба покоятся. В крайнем положении $m$ на высоте $4$ см, $M$ на высоте $8$ см, оба тоже покоятся:

$$mg\cdot20=mg\cdot4+Mg\cdot8.$$

Сокращаем на $g$: $16m=8M$, откуда

$$\dfrac{M}{m}=\dfrac{R-h_m}{h_M}=\dfrac{16}{8}=2.$$

Проверим себя. Длина стержня в начале — гипотенуза с катетами $R$ и $R$: $20\sqrt2\approx28{,}3$ см. В крайнем положении шарик $m$ на $R\sin\varphi=12$ см правее вертикали через центр и на высоте $4$ см, а шарик $M$ на $R\cos\varphi=16$ см левее и на высоте $8$ см. Расстояние между ними $\sqrt{(12+16)^2+(8-4)^2}=\sqrt{800}\approx28{,}3$ см — стержень той же длины, геометрия верна. И по смыслу: лёгкий шарик опустился на $16$ см, тяжёлый поднялся только на $8$ см — вдвое меньше, потому что он вдвое тяжелее.