Задание 26 ЕГЭ по физике №00048606

Что здесь происходит. Первый, лёгкий шарик отпускают с горизонтально натянутой нитью. В нижней точке он налетает на тяжёлый шарик, они слипаются и вместе поднимаются. Найдём сначала скорость первого шарика перед ударом, потом общую скорость после удара и, наконец, высоту подъёма пары.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шарики — материальные точки, нити лёгкие и нерастяжимые, сопротивления воздуха нет. Пока первый шарик опускается, натяжение нити перпендикулярно его скорости и работы не совершает — механическая энергия сохраняется. Нити одинаковой длины, шарики висят, соприкасаясь, поэтому удар происходит в нижней точке, где скорость первого шарика горизонтальна и направлена по линии центров (удар центральный). Удар кратковременный, внешние силы (тяжести и натяжения нитей) в этот момент вертикальны — горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Механическая энергия при абсолютно неупругом ударе не сохраняется. После удара пара движется по дуге окружности радиуса $l$, натяжения работы не совершают — её механическая энергия сохраняется.

Шаг 1 — скорость перед ударом. Нить была горизонтальной, шарик опустился на $l$:

$$m_1gl=\dfrac{m_1v^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v^2=2gl=2\cdot10\cdot0{,}8=16\ \text{м}^2/\text{с}^2.$$

Шаг 2 — удар:

$$m_1v=(m_1+m_2)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,v=\dfrac{200}{800}\,v=\dfrac{v}{4}.$$

Шаг 3 — подъём. Высоту отсчитываем от нижней точки, где произошёл удар:

$$h=\dfrac{u^2}{2g}=\left(\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2\dfrac{v^2}{2g}=\left(\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2l=\dfrac{80}{16}=5\ \text{см}.$$

Проверим себя. Начальная энергия первого шарика $m_1gl=0{,}2\cdot10\cdot0{,}8=1{,}6$ Дж. Энергия пары на высоте $5$ см: $0{,}8\cdot10\cdot0{,}05=0{,}4$ Дж. Разница $1{,}2$ Дж — это теплота удара; $0{,}4+1{,}2=1{,}6$ Дж, баланс сходится. Сохранилась ровно доля $\dfrac{m_1}{m_1+m_2}=\dfrac14$ энергии. Для сравнения: при абсолютно упругом ударе тяжёлый шарик получил бы скорость $\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v=\dfrac{v}{2}$ и поднялся бы на $20$ см — выше, потому что энергия не терялась бы. И угол правдоподобен: при подъёме на $5$ см нити отклонятся от вертикали на угол с $\cos\theta=1-\dfrac{h}{l}=1-\dfrac{5}{80}\approx0{,}94$, около $20^\circ$ — гораздо меньше исходных $90^\circ$.