Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048637

Что здесь происходит. Алюминиевый шар массой $6$ кг висит в спирте на наклонной нити и прислонён к стенке сосуда. Спрашивают, с какой силой шар тянет нить. Нить наклонена, поэтому держит шар не только вверх, но и прижимает его к стенке.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с сосудом (с Землёй), считаем инерциальной; шар покоится, сумма сил на него равна нулю. Сила тяжести и сила Архимеда приложены к центру однородного шара, реакция гладкой стенки направлена по радиусу через центр, поэтому и нить в равновесии направлена к центру — шар можно считать материальной точкой. Спирт покоится, шар погружён целиком — действует закон Архимеда для всего объёма шара. Трения о стенку нет — реакция стенки горизонтальна. Нить лёгкая — сила натяжения направлена вдоль нити и одинакова по всей её длине; по третьему закону Ньютона шар действует на нить с силой $P=T$.

Рисунок сил. На шар: $m\vec g$ вниз; $\vec F_{\text{А}}$ вверх; натяжение $\vec T$ вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали, вверх и к стенке; реакция стенки $\vec N$ горизонтально, от стенки.

Шаг 1 — сила Архимеда. Объём шара — через массу и плотность алюминия из справочных данных $\rho=2700$ кг/м³, а в саму силу Архимеда идёт плотность спирта $\rho_0=790$ кг/м³:

$$F_{\text{А}}=\rho_0g\dfrac{m}{\rho}=790\cdot10\cdot\dfrac{6}{2700}\approx17{,}56\ \text{Н}.$$

Сила тяжести $mg=60$ Н, разность $mg-F_{\text{А}}\approx42{,}44$ Н.

Шаг 2 — проекция на вертикаль. Реакция стенки горизонтальна и в это уравнение не входит. Вверх — вертикальная составляющая натяжения и сила Архимеда, вниз — сила тяжести:

$$T\cos\alpha+F_{\text{А}}=mg\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{mg-F_{\text{А}}}{\cos\alpha}=\dfrac{mg(\rho-\rho_0)}{\rho\cos\alpha}.$$

$$T=\dfrac{42{,}44}{0{,}866}\approx49{,}0\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — ответ. Шар действует на нить с силой $P=T\approx49$ Н, направленной вдоль нити. Это полная сила, а не её вертикальная часть $42{,}4$ Н.

Проверим себя. Горизонтальная проекция: стенка давит на шар с силой $N=T\sin\alpha\approx24{,}5$ Н — положительная, то есть шар действительно прижат к стенке, как на рисунке. Натяжение получилось больше, чем $42{,}4$ Н: наклонной нити приходится тянуть сильнее, ведь вверх работает только её часть $T\cos30^\circ$.