Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048386

Что здесь происходит. Палочка стоит в стакане наискосок: нижний конец упирается в угол у дна, верхний — в противоположную стенку. Сила тяжести стремится «уронить» палочку, а стенка её подпирает. Жидкость выталкивает погружённую часть вверх и тем самым помогает стенке — давление на стенку уменьшается. По тому, насколько оно уменьшилось, найдём плотность жидкости.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со стаканом (с Землёй), считаем инерциальной. Палочка — абсолютно твёрдое тело: важны точки приложения сил, и она могла бы поворачиваться, поэтому для равновесия нужны оба условия — сумма сил и сумма моментов сил равны нулю. Стакан гладкий: трения нет, и каждая сила реакции перпендикулярна поверхности, которой касается палочка, — дно давит вертикально, стенки горизонтально. Палочка однородная — сила тяжести приложена к её середине. Жидкость покоится — действует закон Архимеда, а выталкивающая сила приложена к середине погружённой части. По третьему закону Ньютона сила, с которой палочка давит на стенку, равна по модулю силе $F$, с которой стенка давит на палочку.

Рисунок сил. Сила тяжести $m\vec g$ — вниз, из середины палочки; сила Архимеда $\vec F_{\text{А}}$ — вверх, из середины погружённой части; у нижнего конца — реакция дна $\vec N_1$ (вертикально вверх) и реакция нижней стенки $\vec N_2$ (горизонтально); у верхнего конца — реакция стенки $\vec F$ (горизонтально, внутрь стакана).

Шаг 1 — наклон палочки. По горизонтали палочка перекрывает весь диаметр: $2R=8$ см. Если $\beta$ — угол палочки с горизонтом, то $\cos\beta=\dfrac{2R}{L}=\dfrac{8}{10}=0{,}8$, а $\sin\beta=0{,}6$. Верхний конец находится на высоте $L\sin\beta=6$ см — выше уровня жидкости, значит, погружена только часть палочки.

Шаг 2 — длина погружённой части. Палочка наклонная, поэтому под жидкостью длина больше высоты слоя:

$$s=\dfrac{h}{\sin\beta}=\dfrac{4}{0{,}6}=\dfrac{20}{3}\ \text{см},\qquad \dfrac{s}{L}=\dfrac{2}{3}.$$

Шаг 3 — сила Архимеда без площади сечения. Если $S$ — площадь сечения, то $m=\rho SL$, а $F_{\text{А}}=\rho_{\text{ж}}gSs$. Отсюда

$$F_{\text{А}}=\dfrac{\rho_{\text{ж}}}{\rho}\,mg\,\dfrac{s}{L}.$$

Шаг 4 — правило моментов относительно нижнего конца. Там приложены обе неизвестные реакции $N_1$ и $N_2$, их моменты равны нулю. У вертикальных сил плечи горизонтальные: у силы тяжести $\dfrac{L}{2}\cos\beta$, у силы Архимеда $\dfrac{s}{2}\cos\beta$. У горизонтальной силы $F$ плечо вертикальное — $L\sin\beta$. Сила тяжести поворачивает палочку к стенке, сила Архимеда и сила $F$ — от неё:

$$mg\dfrac{L}{2}\cos\beta=F_{\text{А}}\dfrac{s}{2}\cos\beta+FL\sin\beta.$$

Подставим $F_{\text{А}}$ и разделим на $\dfrac{L}{2}\cos\beta$:

$$mg\left(1-\dfrac{\rho_{\text{ж}}}{\rho}\cdot\dfrac{s^2}{L^2}\right)=2F\,\mathrm{tg}\,\beta\quad\Rightarrow\quad\rho_{\text{ж}}=\rho\dfrac{L^2}{s^2}\left(1-\dfrac{2F\,\mathrm{tg}\,\beta}{mg}\right).$$

Обрати внимание: длина погружённой части входит в квадрате — она определяет и саму силу Архимеда, и её плечо.

Шаг 5 — числа. $mg=0{,}009\cdot10=0{,}09$ Н, $\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75$, $\dfrac{2F\,\mathrm{tg}\,\beta}{mg}=\dfrac{2\cdot0{,}04\cdot0{,}75}{0{,}09}=\dfrac{0{,}06}{0{,}09}=\dfrac23$, $\dfrac{L^2}{s^2}=\dfrac94$:

$$\rho_{\text{ж}}=1200\cdot\dfrac{9}{4}\cdot\left(1-\dfrac23\right)=1200\cdot\dfrac94\cdot\dfrac13=900\ \text{кг/м}^3.$$

Проверим себя подстановкой. $F_{\text{А}}=\dfrac{900}{1200}\cdot0{,}09\cdot\dfrac23=0{,}045$ Н. Моменты относительно нижнего конца: силы тяжести $0{,}09\cdot0{,}04=0{,}0036$ Н·м, силы Архимеда $0{,}045\cdot\dfrac{0{,}0667}{2}\cdot0{,}8\approx0{,}0012$ Н·м, силы стенки $0{,}04\cdot0{,}06=0{,}0024$ Н·м. И правда $0{,}0036=0{,}0012+0{,}0024$. Ещё одна проверка смысла: $900\lt1200$ — жидкость менее плотная, чем палочка, поэтому палочка не всплывает и остаётся опираться на дно (реакция дна $mg-F_{\text{А}}=0{,}045$ Н больше нуля).