Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048636

Что здесь происходит. Алюминиевый шар висит в спирте на наклонной нити, которая привязана к стенке выше шара. Нить тянет шар вверх и к стенке, поэтому шар прижимается к стенке, а стенка отталкивает его. Нужно найти, с какой силой шар давит на стенку.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с сосудом (с Землёй), считаем инерциальной. Шар покоится, поэтому векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Шар однородный: сила тяжести и сила Архимеда приложены к его центру, реакция гладкой стенки направлена по радиусу — тоже через центр; в равновесии и нить направлена к центру, поэтому шар можно считать материальной точкой и обойтись без правила моментов. Спирт покоится, а шар погружён целиком, поэтому на него действует сила Архимеда, равная весу спирта в объёме всего шара: $F_{\text{А}}=\rho_0 gV$. Трения о стенку нет — значит, сила реакции стенки перпендикулярна стенке, то есть горизонтальна. Нить лёгкая — натяжение направлено вдоль нити.

Рисунок сил. На шар: $m\vec g$ вниз; $\vec F_{\text{А}}$ вверх; натяжение $\vec T$ вдоль нити, вверх и к стенке, под углом $\alpha$ к вертикали; реакция стенки $\vec N$ горизонтально, от стенки. По третьему закону Ньютона шар давит на стенку с силой $F=N$.

Шаг 1 — сила тяжести и сила Архимеда. Объём шара по массе и плотности алюминия из справочных данных ($\rho=2700$ кг/м³): $V=\dfrac{m}{\rho}$. Тогда

$$F_{\text{А}}=\rho_0g\dfrac{m}{\rho}=790\cdot10\cdot\dfrac{4}{2700}\approx11{,}70\ \text{Н},\qquad mg=40\ \text{Н}.$$

По вертикали нить держит разность $mg-F_{\text{А}}=40-11{,}70=28{,}30$ Н.

Шаг 2 — проекции на вертикаль и горизонталь. Реакция стенки горизонтальна, в вертикальное уравнение она не входит:

$$T\cos\alpha=mg-F_{\text{А}},\qquad N=T\sin\alpha.$$

Делим второе на первое — натяжение уходит:

$$N=(mg-F_{\text{А}})\,\mathrm{tg}\,\alpha=mg\left(1-\dfrac{\rho_0}{\rho}\right)\mathrm{tg}\,\alpha=28{,}30\cdot0{,}577\approx16{,}3\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — ответ. Шар давит на стенку с силой $F=N\approx16{,}3$ Н.

Проверим себя. При угле $30^\circ$ (меньше $45^\circ$) горизонтальная составляющая натяжения меньше вертикальной, поэтому давление на стенку обязано быть меньше $28{,}3$ Н — так и есть. А натяжение $T=\dfrac{28{,}30}{0{,}866}\approx32{,}7$ Н, и $T\sin30^\circ\approx16{,}3$ Н — то же число.