Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048380

Что здесь происходит. Алюминиевый шар висит в воде на наклонной нити и прижимается к вертикальной стенке сосуда. Нить тянет шар вверх и к стенке, стенка отталкивает его от себя. Спрашивают не каждую силу по отдельности, а разность: сила, с которой шар тянет нить, минус сила, с которой он давит на стенку.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с сосудом (с Землёй), считаем инерциальной: шар в ней покоится, значит, по первому закону Ньютона векторная сумма сил, действующих на шар, равна нулю. Шар можно считать материальной точкой, хотя он касается стенки: сила тяжести и сила Архимеда приложены к центру однородного шара, реакция гладкой стенки направлена по радиусу, то есть тоже через центр. Тогда и линия нити в равновесии проходит через центр — иначе натяжение поворачивало бы шар. Все силы сходятся в одной точке, вращения нет, и достаточно условия равновесия сил. Вода покоится, поэтому на полностью погружённый шар действует сила Архимеда $\rho_0 gV$. Трения о стенку нет — значит, сила реакции стенки перпендикулярна стенке, то есть горизонтальна. Нить лёгкая — сила натяжения направлена вдоль нити.

Рисунок сил. На шар действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз; сила Архимеда $\vec F_{\text{А}}$ — вертикально вверх; сила натяжения нити $\vec T$ — вдоль нити, вверх и к стенке, под углом $\alpha$ к вертикали; сила реакции стенки $\vec N$ — горизонтально, от стенки.

По третьему закону Ньютона шар действует на нить с силой, равной по модулю натяжению: $F_1=T$. На стенку он давит с силой, равной реакции стенки: $F_2=N$. Значит, ищем $T-N$.

Шаг 1 — сила Архимеда. Объём шара выразим через массу и плотность алюминия из справочных данных ($\rho=2700$ кг/м³): $V=\dfrac{m}{\rho}$. Плотность воды $\rho_0=1000$ кг/м³. Тогда

$$F_{\text{А}}=\rho_0 g\dfrac{m}{\rho}=1000\cdot10\cdot\dfrac{5}{2700}\approx18{,}52\ \text{Н}.$$

Сила тяжести $mg=5\cdot10=50$ Н. Вода «снимает» с нити больше трети веса: $50-18{,}52=31{,}48$ Н.

Шаг 2 — равновесие по вертикали. Вверх шар держат вертикальная составляющая натяжения $T\cos\alpha$ и сила Архимеда, вниз тянет сила тяжести. Реакция стенки горизонтальна и в это уравнение не входит:

$$T\cos\alpha+F_{\text{А}}=mg\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{mg-F_{\text{А}}}{\cos\alpha}=\dfrac{31{,}48}{0{,}866}\approx36{,}35\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — равновесие по горизонтали. К стенке шар прижимает горизонтальная составляющая натяжения $T\sin\alpha$, а стенка отвечает реакцией $N$:

$$N=T\sin\alpha\approx36{,}35\cdot0{,}5\approx18{,}18\ \text{Н}.$$

Шаг 4 — разность сил. Обе силы выражены через одно и то же натяжение:

$$F_1-F_2=T-N=T(1-\sin\alpha)=\dfrac{(mg-F_{\text{А}})(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}\approx36{,}35-18{,}18\approx18{,}2\ \text{Н}.$$

Проверим себя. Натяжение — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого — реакция стенки $N$ и вертикальная равнодействующая $mg-F_{\text{А}}$. По теореме Пифагора $\sqrt{T^2-N^2}=\sqrt{36{,}35^2-18{,}18^2}\approx31{,}48$ Н — ровно столько, сколько получилось в шаге 1. И ещё: если бы нить висела вертикально ($\alpha=0$), шар не давил бы на стенку, а разность равнялась бы всему натяжению $31{,}48$ Н. С наклоном часть натяжения уходит на прижатие к стенке, и разность стала меньше — $18{,}2$ Н.