Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048387

Что здесь происходит. Шар из алюминия привязан нитью к стенке стакана и целиком сидит в воде. Он тяжелее воды, поэтому тонет и натягивает нить, а нить, наклонённая к стенке, заодно прижимает шар к стенке. Нужно найти натяжение нити.

Какие законы и почему их можно применять. Систему отсчёта, связанную со стаканом (с Землёй), считаем инерциальной. Шар в ней покоится, поэтому по первому закону Ньютона (условие равновесия) векторная сумма приложенных к нему сил равна нулю. Шар считаем материальной точкой: сила тяжести и сила Архимеда приложены к центру однородного шара, реакция гладкой стенки направлена по радиусу через центр, значит, и нить в равновесии натянута по линии, проходящей через центр; поворачивать шар нечему. Вода покоится — на погружённый шар действует закон Архимеда. Шар касается стенки лишь в одной точке, вода омывает его со всех сторон, поэтому выталкивающая сила равна весу воды в объёме всего шара. (Иначе было бы, если бы тело плоской гранью плотно прилегало ко дну и вода под него не подтекала: снизу давления воды не было бы, и выталкивающая сила пропала бы.) Трения о стенку нет — реакция стенки перпендикулярна стенке, то есть горизонтальна. Нить лёгкая — её натяжение направлено вдоль нити.

Рисунок сил. Сила тяжести $m\vec g$ — вниз; сила Архимеда $\vec F_{\text{А}}$ — вверх; натяжение $\vec T$ — вдоль нити, вверх и к стенке; реакция стенки $\vec N$ — горизонтально, от стенки.

Шаг 1 — какой угол с вертикалью. Стенка стакана вертикальна, поэтому угол между нитью и стенкой — это и угол между нитью и вертикалью: $\alpha=30^\circ$. Вертикальная составляющая натяжения равна $T\cos\alpha$.

Шаг 2 — сила Архимеда. Объём шара найдём по массе и плотности алюминия из справочных данных ($\rho=2700$ кг/м³): $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{3}{2700}\approx1{,}11\cdot10^{-3}$ м³. Плотность воды $\rho_0=1000$ кг/м³:

$$F_{\text{А}}=\rho_0 gV=1000\cdot10\cdot\dfrac{3}{2700}\approx11{,}11\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — равновесие по вертикали. Реакция стенки горизонтальна, в вертикальное уравнение она не входит, поэтому для натяжения хватает одного уравнения:

$$T\cos\alpha+F_{\text{А}}-mg=0\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{mg-F_{\text{А}}}{\cos\alpha}=\dfrac{g\,m\left(1-\dfrac{\rho_0}{\rho}\right)}{\cos\alpha}.$$

Считаем: $mg=3\cdot10=30$ Н, $mg-F_{\text{А}}=30-11{,}11=18{,}89$ Н,

$$T=\dfrac{18{,}89}{0{,}866}\approx21{,}8\ \text{Н}\approx22\ \text{Н}.$$

Проверим себя. Наклон нити увеличивает натяжение (делим на $\cos30^\circ$, то есть примерно на $15\,\%$), а вода уменьшает его сильнее — на $\dfrac{1}{2{,}7}$, то есть примерно на $37\,\%$ от веса. Поэтому натяжение должно выйти меньше силы тяжести $30$ Н, но больше нуля — так и есть. Для полноты найдём и силу давления на стенку: $N=T\sin\alpha\approx10{,}9$ Н. А если бы шар был легче воды (например, деревянный, $\rho=400$ кг/м³), скобка $1-\dfrac{\rho_0}{\rho}$ стала бы отрицательной: нить не умеет толкать, такой шар просто всплыл бы, и равновесия, нарисованного в условии, не было бы.