Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00046945

Обоснование

1. Задачу будем решать в системе отсчёта, связанной с Землёй, будем считать эту систему инерциальной.

2. Описываем стержень моделью абсолютно твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).

3. Движение твёрдого тела можно описать как совокупность двух движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твёрдого тела в ИСО необходимы два условия: одно для поступательного движения, другое — для вращательного.

4. Стержень находится в равновесии, поэтому сумма моментов сил относительно горизонтальной оси, проходящей через шарнир $A$ перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю. Векторная сумма сил, действующих на стержень, тоже равна нулю.

5. Вода покоится, поэтому на погружённую часть стержня действует сила Архимеда. Она направлена вертикально вверх и приложена к центру погружённой части. Стержень однородный, поэтому сила тяжести приложена к его середине.

6. На стержень действуют сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила Архимеда $\vec{F}_А$, направленная вертикально вверх, и сила $\vec{N}$ со стороны шарнира. Силы $m\vec{g}$ и $\vec{F}_А$ вертикальны, поэтому из условия равновесия сил сила $\vec{N}$ тоже вертикальна. Её направление найдём из правила моментов (см. решение): погружённая часть стержня короче всего стержня, поэтому $F_А > mg$, и шарнир удерживает стержень, действуя на него вертикально вниз.

7. По третьему закону Ньютона сила $\vec{F}$, с которой стержень действует на шарнир, и сила $\vec{N}$ равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F} = -\vec{N}$. Значит, стержень действует на шарнир вертикально вверх, и $N = F$.

Дано:

$S = 0{,}25$ см²

$h = 20$ см

$\alpha = 30^\circ$

$\rho = 1000$ кг/м³

$F = 0{,}013$ Н

СИ:

$S = 0{,}25 \cdot 10^{-4}$ м²

$h = 0{,}2$ м

Найти:

$\rho_с$ — ?

Пусть длина стержня равна $l$. Найдём силу Архимеда, действующую на стержень. В воде находится часть стержня длиной $\dfrac{h}{\cos\alpha}$, её объём $V_{погр} = \dfrac{h}{\cos\alpha}S$. Тогда:

$F_А = \rho gV_{погр} = \rho g\dfrac{h}{\cos\alpha}S$.

Запишем правило моментов сил относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно рисунку. Сила $\vec{N}$ приложена в точке $A$, её момент равен нулю:

$M_1 + M_2 = 0$,

где $M_1$ — момент силы тяжести стержня, $M_2$ — момент силы Архимеда. Эти моменты направлены в противоположные стороны.

Момент силы равен произведению силы на её плечо. Сила тяжести приложена к середине стержня, сила Архимеда — к середине погружённой части. Поэтому:

$mg \cdot \dfrac{l}{2}\sin\alpha = F_А \cdot \dfrac{h}{2\cos\alpha} \cdot \sin\alpha$.

Масса стержня равна:

$m = \rho_сV = \rho_с lS$,

где $V = lS$ — объём стержня.

Тогда:

$\rho_с lSg \cdot \dfrac{l}{2} = \rho g\dfrac{h}{\cos\alpha}S \cdot \dfrac{h}{2\cos\alpha}$.

Выразим $l$:

$l = \dfrac{h}{\cos\alpha}\sqrt{\dfrac{\rho}{\rho_с}}$.

Конец $B$ находится над водой (см. рисунок), значит, $l > \dfrac{h}{\cos\alpha}$. Из правила моментов $mg \cdot l = F_А \cdot \dfrac{h}{\cos\alpha}$, поэтому $F_А > mg$.

Запишем условие равновесия относительно поступательного движения (стержень покоится):

$m\vec{g} + \vec{F}_А + \vec{N} = \vec{0}$.

Ось $Oy$ направим вертикально вверх. В проекции на ось $Oy$:

$-mg + F_А - N = 0 \Rightarrow N = F_А - mg$.

Тогда:

$N = \rho gS\dfrac{h}{\cos\alpha} - \rho_с lSg = \rho gS\dfrac{h}{\cos\alpha} - \rho_с\dfrac{h}{\cos\alpha}\sqrt{\dfrac{\rho}{\rho_с}}Sg$.

Или:

$N = gS\dfrac{h}{\cos\alpha}\left(\rho - \sqrt{\rho\rho_с}\right)$.

С учётом $N = F$ находим плотность стержня:

$\rho_с = \left(\sqrt{\rho} - \dfrac{F \cdot \cos\alpha}{gSh\sqrt{\rho}}\right)^2$.

Получим:

$\rho_с = \left(\sqrt{1000} - \dfrac{0{,}013 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{10 \cdot 0{,}25 \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}2\sqrt{1000}}\right)^2 \approx 600$ кг/м³.