Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00046940

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Описываем доску моделью абсолютно твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).

3. Движение твёрдого тела можно описать как совокупность двух движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твёрдого тела в ИСО необходимы два условия: одно для поступательного движения, другое — для вращательного.

4. Векторная сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов сил (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения).

5. Размерами грузов можно пренебречь, поэтому будем описывать их моделью материальной точки.

6. Для материальных точек в ИСО применимы законы Ньютона.

7. Так как нити невесомы: $T_1 = T_2$, $T_3 = T_4$, $T_8 = T_9$.

8. Так как нить невесома, а блоки идеальны (невесомы, трения в осях нет): $T_5 = T_6 = T_7 = T$.

9. Так как нить нерастяжима, то если покоится одно тело, то покоятся и другие тела.

10. На доску массой $M$ действуют: сила тяжести $M\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила натяжения нити $\vec{T}_2$, направленная вдоль нити к точке подвеса шара; сила натяжения нити $\vec{T}_4$, направленная вдоль нити к точке подвеса кубика; силы натяжения подвеса $\vec{T}_9$ и $\vec{T}_5$, направленные вдоль нитей к системе блоков.

11. Вода покоится, поэтому на погружённую часть шара действует выталкивающая сила Архимеда, направленная вертикально вверх: $F_{Арх} = \rho g V_п$.

Дано:

$L = 1$ м

$M = 2$ кг

$l_1 = 30$ см

$l_2 = 40$ см

$m = 3$ кг

$V = 0{,}1$ м³

$V_п = 0{,}89V$

$\rho_m = 8900$ кг/м³

$\rho = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

СИ:

$l_1 = 0{,}3$ м

$l_2 = 0{,}4$ м

Найти:

$V_{пол}$ — ?

Сделаем рисунок с изображением сил, действующих на доску, грузы и блоки.

Запишем второй закон Ньютона для грузов и подвижного блока, а для доски — условие равновесия относительно поступательного движения, в векторном виде:

$m\vec{g} + \vec{T}_3 = m\vec{a}$

$M_m\vec{g} + \vec{T}1 + \vec{F}{Арх} = M_m\vec{a}$

$M\vec{g} + \vec{T}_2 + \vec{T}_4 + \vec{T}_5 + \vec{T}_9 = \vec{0}$

$\vec{T}_8 + \vec{T}_7 + \vec{T}_6 = \vec{0}$

где $M_m$ — масса медного шара.

Ось $Oy$ направим вертикально вниз. Тела покоятся, значит, ускорение равно нулю. Спроецируем уравнения на ось $Oy$:

$\begin{cases} mg - T_3 = 0 \Rightarrow mg = T_3, \ M_mg - T_1 - F_{Арх} = 0 \Rightarrow M_mg - F_{Арх} = T_1, \ Mg + T_2 + T_4 - T_5 - T_9 = 0, \ T_8 - T_7 - T_6 = 0 \Rightarrow T_8 = T_7 + T_6. \end{cases}$

С учётом пунктов 7 и 8 обоснования получим:

$\begin{cases} T_9 = 2T, \ Mg + M_mg - F_{Арх} + mg = T + 2T. \end{cases}$

Выразим силу натяжения:

$T = \dfrac{Mg + M_mg - F_{Арх} + mg}{3}. \quad (1)$

Момент силы находим по формуле $M_F = Fd$, где $F$ — приложенная сила, $d$ — плечо этой силы.

Запишем правило моментов сил для доски относительно оси, проходящей через точку приложения силы $T_2$ (правый край доски):

$T_4L + \dfrac{MgL}{2} - T_5l_2 - T_9(L - l_1) = 0$.

Подставим равенство сил натяжения:

$mgL + \dfrac{MgL}{2} = T(l_2 + 2(L - l_1)) \Rightarrow T = \dfrac{2mgL + MgL}{2(l_2 + 2(L - l_1))}. \quad (2)$

Приравняем выражения (1) и (2):

$\dfrac{Mg + M_mg - F_{Арх} + mg}{3} = \dfrac{2mgL + MgL}{2(l_2 + 2L - 2l_1)}$.

Сила Архимеда равна:

$F_{Арх} = \rho g V_п = \rho g \cdot 0{,}89V$,

где $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, $V_п$ — объём погружённой части шара, $V$ — объём шара.

Масса медного шара равна:

$M_m = \rho_m(V - V_{пол})$,

где $\rho_m = 8900$ кг/м³ — плотность меди, $V_{пол}$ — объём воздушной полости.

Подставим эти формулы в равенство сил натяжения и сократим на $g$:

$\rho_m(V - V_{пол}) + m - 0{,}89\rho V + M = \dfrac{6mL + 3ML}{2(l_2 + 2L - 2l_1)}$.

Выразим объём полости:

$V_{пол} = V - \dfrac{1}{\rho_m}\left(\dfrac{6mL + 3ML}{2(l_2 + 2L - 2l_1)} - m - M + 0{,}89\rho V\right)$.

Подставим численные значения:

$V_{пол} = 0{,}1 - \dfrac{1}{8900}\left(\dfrac{6 \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 1}{2(0{,}4 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0{,}3)} - 3 - 2 + 0{,}89 \cdot 1000 \cdot 0{,}1\right) \approx 0{,}0898 \approx 0{,}09$ м³.