Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048424

Что здесь происходит. Деревянная палочка висит на оси за верхний конец, нижняя треть её — в воде, а с нижнего конца на нити свисает алюминиевый шарик. Дерево легче воды, поэтому погружённая часть палочки «всплывает» и стремится поднять нижний конец, а тяжёлый шарик тянет его вниз. Палочка замерла — значит, эти поворачивающие действия уравновешены. Из этого баланса и найдём объём палочки.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с сосудом (с Землёй), считаем инерциальной. Палочка может поворачиваться вокруг оси, её размеры важны — это абсолютно твёрдое тело, поэтому для её равновесия, кроме равенства нулю суммы сил, должна быть равна нулю и сумма моментов сил относительно оси $O$. Шарик маленький и не вращается — это материальная точка, для него достаточно равенства нулю суммы сил. Вода покоится, поэтому на шарик и на погружённую часть палочки действуют силы Архимеда; палочка однородная, и сила Архимеда приложена к середине погружённой части, а сила тяжести — к середине всей палочки. Нить лёгкая: она передаёт на конец палочки силу, равную натяжению, и висит вертикально. Трения в оси нет — сила реакции оси не создаёт момента относительно $O$.

Рисунок сил. На шарик: сила тяжести $\rho_{\text{а}}Vg$ вниз, сила Архимеда $\rho_{\text{в}}Vg$ вверх, натяжение нити $\vec T$ вверх. На палочку: сила тяжести $\rho_{\text{с}}V_0 g$ вниз (в середине палочки), сила Архимеда $F_{\text{А}}$ вверх (в середине погружённой части), натяжение нити $\vec T$ вниз (в нижнем конце), сила реакции оси $\vec R$ (в точке $O$). Справочные плотности: сосна $\rho_{\text{с}}=400$ кг/м³, алюминий $\rho_{\text{а}}=2700$ кг/м³, вода $\rho_{\text{в}}=1000$ кг/м³.

Шаг 1 — натяжение нити. Шарик в равновесии:

$$T=\rho_{\text{а}}Vg-\rho_{\text{в}}Vg=(\rho_{\text{а}}-\rho_{\text{в}})Vg.$$

Шаг 2 — где приложены силы. Пусть длина палочки $l$. Сила тяжести палочки приложена на расстоянии $\dfrac{l}{2}$ от оси. Под водой нижняя треть, от $\dfrac{2l}{3}$ до $l$; её середина — на расстоянии $\dfrac{2l}{3}+\dfrac{l}{6}=\dfrac{5l}{6}$ от оси. Натяжение нити приложено к самому концу — на расстоянии $l$. Сила Архимеда на палочку: $F_{\text{А}}=\rho_{\text{в}}\dfrac{V_0}{3}g$.

Длина нити не важна: нить вертикальна и тянет палочку за нижний конец, поэтому плечо силы натяжения определяется только положением этого конца — $l\cos\varphi$.

Шаг 3 — правило моментов относительно оси $O$. Все силы вертикальны, поэтому плечо каждой равно расстоянию от оси вдоль палочки, умноженному на $\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол палочки с горизонтом. Момент силы реакции оси равен нулю. Поворачивают палочку вниз сила тяжести и нить, вверх — сила Архимеда:

$$\rho_{\text{с}}V_0 g\cdot\dfrac{l}{2}\cos\varphi+(\rho_{\text{а}}-\rho_{\text{в}})Vg\cdot l\cos\varphi=\rho_{\text{в}}\dfrac{V_0}{3}g\cdot\dfrac{5l}{6}\cos\varphi.$$

Множители $g$, $l$ и $\cos\varphi$ есть в каждом слагаемом — сокращаем их. Поэтому угол наклона и длина палочки не нужны:

$$\dfrac{\rho_{\text{с}}V_0}{2}+(\rho_{\text{а}}-\rho_{\text{в}})V=\dfrac{5\rho_{\text{в}}V_0}{18}\quad\Rightarrow\quad V_0=\dfrac{(\rho_{\text{а}}-\rho_{\text{в}})V}{\dfrac{5\rho_{\text{в}}}{18}-\dfrac{\rho_{\text{с}}}{2}}.$$

Шаг 4 — числа. Числитель: $(2700-1000)\cdot1{,}4=2380$ (кг/м³·см³). Знаменатель: $\dfrac{5\cdot1000}{18}-\dfrac{400}{2}\approx277{,}8-200=77{,}8$ кг/м³.

$$V_0=\dfrac{2380}{77{,}8}\approx30{,}6\ \text{см}^3.$$

Без шарика палочка не была бы в равновесии в наклонном положении: момент силы Архимеда больше момента силы тяжести (см. проверку), и палочка поворачивалась бы нижним концом вверх, пока под водой не осталась бы меньшая доля её длины, чем треть. Шарик своим «утяжелением» и уравновешивает этот избыток.

Проверим себя. При $V_0=30{,}6$ см³ сила Архимеда на палочку $\rho_{\text{в}}\dfrac{V_0}{3}g$ меньше её силы тяжести ($\approx0{,}102$ Н против $\approx0{,}122$ Н), но приложена дальше от оси ($\dfrac{5l}{6}$ против $\dfrac{l}{2}$), поэтому её момент больше: $0{,}102\cdot\dfrac56\approx0{,}085$ против $0{,}122\cdot\dfrac12\approx0{,}061$ (в единицах $l\cos\varphi$). Разница $\approx0{,}024$ — это ровно момент натяжения нити $T=(2700-1000)\cdot1{,}4\cdot10^{-6}\cdot10\approx0{,}024$ Н с плечом $l$. Всё сходится.