Задание 26 ЕГЭ по физике №00048602

Что здесь происходит. Шайба соскальзывает с подвижной горки, и горка отъезжает назад, от стенки. Потенциальная энергия шайбы делится между шайбой и горкой. Чем тяжелее шайба по сравнению с горкой, тем быстрее отъезжает горка и тем большую часть энергии она забирает. Значит, по скорости шайбы у стенки можно узнать её массу.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с плоскостью (с Землёй), считаем инерциальной; скорости — относительно плоскости. Шайба — материальная точка, горка движется поступательно. Внешние силы на систему «шайба + горка» (тяжести и реакции гладкой плоскости) вертикальны — горизонтальная проекция импульса системы сохраняется и равна нулю. Трения нет, склон плавно переходит в плоскость, силы взаимодействия шайбы и горки — внутренние, их суммарная работа равна нулю — механическая энергия системы сохраняется. После того как шайба съехала, на каждое тело по горизонтали ничего не действует, поэтому обе скорости дальше не меняются — с той же скоростью шайба подъезжает к стенке.

Шаг 1 — импульс. Шайба едет к стенке со скоростью $v$, горка от стенки — со скоростью $V$:

$$mv=MV\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{m}{M}\,v.$$

Шаг 2 — энергия ($H=0{,}3$ м):

$$mgH=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{m^2v^2}{2M}.$$

Делим на $m$ и выражаем массу шайбы:

$$gH=\dfrac{v^2}{2}\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\quad\Rightarrow\quad m=M\left(\dfrac{2gH}{v^2}-1\right)=\dfrac{2gHM}{v^2}-M.$$

Шаг 3 — числа:

$$m=1{,}5\cdot\left(\dfrac{2\cdot10\cdot0{,}3}{4}-1\right)=1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Горка едет со скоростью $V=\dfrac{0{,}75}{1{,}5}\cdot2=1$ м/с. Энергии: шайбы $\dfrac{0{,}75\cdot4}{2}=1{,}5$ Дж, горки $\dfrac{1{,}5\cdot1}{2}=0{,}75$ Дж, в сумме $2{,}25$ Дж $=mgH=0{,}75\cdot10\cdot0{,}3$. С неподвижной горки шайба съехала бы со скоростью $\sqrt{2gH}=\sqrt6\approx2{,}45$ м/с; у нас $2$ м/с — меньше, как и должно быть, поэтому масса получилась положительной.