Задание 26 ЕГЭ по физике №00048601

Что здесь происходит. Груз $M$ висит на нити сбоку от сферы и тянет за собой груз $m$, который соскальзывает с вершины по поверхности. Чем ниже спускается $m$ и чем быстрее он движется, тем слабее он давит на сферу. На дуге $45^\circ$ давление обращается в ноль — груз отрывается. Из этого условия и закона сохранения энергии для обоих грузов найдём $M$.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со сферой (с Землёй), считаем инерциальной. Грузы — материальные точки: размеры $m$ ничтожно малы по сравнению с радиусом $R$. Нить лёгкая и нерастяжимая, поэтому скорости грузов в любой момент равны по модулю, а натяжение вдоль нити одинаково. Трения нет — ни между грузом и сферой, ни между нитью и сферой: сила реакции сферы перпендикулярна скорости груза $m$ и работы не совершает, натяжение — внутренняя сила системы, и суммарная работа натяжений над двумя грузами равна нулю. Значит, механическая энергия системы «грузы + нить» сохраняется. Импульс системы не сохраняется: сфера и сила тяжести — внешние силы, не уравновешенные. Пока груз $m$ на сфере, он движется по окружности радиуса $R$, и для него можно записать второй закон Ньютона в проекции на радиус.

Рисунок сил. На груз $m$ (под углом $\varphi$ от вершины): сила тяжести $m\vec g$ вниз, сила реакции $\vec N$ по радиусу от центра, натяжение $\vec T$ по касательной к сфере. На груз $M$: сила тяжести $M\vec g$ вниз и натяжение $\vec T$ вверх.

Шаг 1 — второй закон Ньютона для $m$ по радиусу (к центру). Натяжение направлено по касательной и в это уравнение не входит:

$$mg\cos\varphi-N=\dfrac{mv^2}{R}.$$

В момент отрыва $N=0$, $\varphi=45^\circ$:

$$v^2=gR\cos\varphi.$$

Шаг 2 — перемещения. Груз $m$ опустился по вертикали на $R(1-\cos\varphi)$. С вершины на боковую сторону сферы соскользнул участок нити длиной в пройденную дугу $R\varphi$ (угол в радианах), ровно на столько опустился груз $M$.

Шаг 3 — закон сохранения энергии от начала до отрыва:

$$mgR(1-\cos\varphi)+MgR\varphi=\dfrac{(m+M)v^2}{2}=\dfrac{(m+M)gR\cos\varphi}{2}.$$

Сокращаем $gR$ и собираем слагаемые с $M$:

$$M\left(\varphi-\dfrac{\cos\varphi}{2}\right)=m\left(\dfrac{3\cos\varphi}{2}-1\right)\quad\Rightarrow\quad M=m\,\dfrac{3\cos\varphi-2}{2\varphi-\cos\varphi}.$$

Шаг 4 — числа: $\varphi=\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}785$ рад, $\cos\varphi\approx0{,}707$.

$$M\approx0{,}6\cdot\dfrac{2{,}121-2}{1{,}571-0{,}707}=0{,}6\cdot\dfrac{0{,}121}{0{,}864}\approx0{,}084\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Если бы груза $M$ не было, тело соскальзывало бы с гладкой сферы само и оторвалось бы при $\cos\varphi=\dfrac23$, то есть примерно на $48^\circ$. Груз $M$ разгоняет $m$ быстрее, поэтому отрыв наступает раньше — на $45^\circ$, как в условии; и чем тяжелее $M$, тем раньше. Нить всё время натянута: из уравнений движения вдоль нити $T=\dfrac{mMg(1-\sin\varphi)}{m+M}\ge0$.