Задание 26 ЕГЭ по физике №00048600

Что здесь происходит. Растянутая пружина тянет груз к стене, груз едет, проскакивает положение, где пружина не деформирована, сжимает её и останавливается. Остановившись, он должен остаться на месте: сжатая пружина толкает его назад, и удержать его может только трение покоя. Чем сильнее растянули пружину вначале, тем сильнее она окажется сжата в конце. «Максимальное растяжение» — это граничный случай: в точке остановки сила сжатой пружины ровно равна наибольшей силе трения покоя. Ещё чуть больше — и груз поехал бы обратно.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с плоскостью (с Землёй), считаем инерциальной. Груз — материальная точка, движется поступательно вдоль оси пружины. Пружина лёгкая: её массой и кинетической энергией пренебрегаем, её сила подчиняется закону Гука $F=kx$ (деформации малы, упругие), а энергия равна $\dfrac{kx^2}{2}$. Плоскость горизонтальна, поэтому груз прижат к ней с силой $N=mg$, и сила трения скольжения $\mu mg$ постоянна и всё время направлена против движения — груз едет в одну сторону. Наибольшую силу трения покоя считаем равной силе трения скольжения. Механическая энергия не сохраняется: её убыль равна работе силы трения (закон изменения механической энергии).

Шаг 1 — где груз остановится. Пусть пружина в конце сжата на $x$. Груз прошёл путь $d+x$, а скорость в начале и в конце равна нулю:

$$\dfrac{kd^2}{2}-\dfrac{kx^2}{2}=\mu mg\,(d+x).$$

Левая часть равна $\dfrac{k}{2}(d-x)(d+x)$, путь $d+x$ сокращается:

$$\dfrac{k}{2}(d-x)=\mu mg\quad\Rightarrow\quad x=d-\dfrac{2\mu mg}{k}.$$

Шаг 2 — условие «остаётся на месте». В точке остановки сила пружины $kx$ не должна превышать наибольшую силу трения покоя $\mu mg$. При максимальном $d$ это равенство:

$$kx=\mu mg\quad\Rightarrow\quad k\left(d-\dfrac{2\mu mg}{k}\right)=\mu mg\quad\Rightarrow\quad kd=3\mu mg.$$

Шаг 3 — коэффициент трения:

$$\mu=\dfrac{kd}{3mg}=\dfrac{120\cdot0{,}15}{3\cdot4\cdot10}=\dfrac{18}{120}=0{,}15.$$

Проверим себя. Сила трения $\mu mg=0{,}15\cdot40=6$ Н. Вначале пружина тянет с силой $kd=18$ Н $\gt6$ Н — груз действительно трогается. Остановка при сжатии $x=\dfrac{6}{120}=0{,}05$ м $=5$ см. Энергия пружины уменьшилась на $\dfrac{120}{2}(0{,}0225-0{,}0025)=1{,}2$ Дж, работа трения на пути $0{,}2$ м равна $6\cdot0{,}2=1{,}2$ Дж — сходится. Если бы груз был тяжелее, сила трения выросла бы, и такое движение получалось бы и при большем начальном растяжении.