Задание 26 ЕГЭ по физике №00048599

Что здесь происходит. Лёгкий шарик отклонили так, что нить стала горизонтальной, и отпустили. Он разгоняется, в нижней точке налетает на тяжёлый шарик и слипается с ним. Дальше пара поднимается на $10$ см. Движение делится на три этапа: спуск первого шарика, удар, подъём пары. На каждом этапе работает свой закон, и по высоте подъёма нужно восстановить длину нити.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шарики — материальные точки, нити лёгкие и нерастяжимые, сопротивления воздуха нет. Этап 1: на первый шарик действуют сила тяжести и натяжение нити, а натяжение всё время перпендикулярно скорости и работы не совершает — механическая энергия шарика сохраняется. Этап 2: удар кратковременный и происходит в нижней точке, где нити вертикальны; все внешние силы (тяжести и натяжения) вертикальны, поэтому горизонтальная проекция импульса системы двух шариков сохраняется. Удар абсолютно неупругий: механическая энергия при нём не сохраняется, часть её переходит во внутреннюю. Этап 3: нити одинаковые и параллельные, шарики малы — слипшаяся пара движется по дуге радиуса $l$, как один маятник; натяжения перпендикулярны скорости и работы не совершают — механическая энергия пары сохраняется.

Шаг 1 — скорость первого шарика перед ударом. Нить была горизонтальной, поэтому шарик опустился на $l$:

$$m_1gl=\dfrac{m_1v^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v^2=2gl.$$

Шаг 2 — удар. Горизонтальный импульс сохраняется:

$$m_1v=(m_1+m_2)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,v=\dfrac{400}{1200}\,v=\dfrac{v}{3}.$$

Шаг 3 — подъём пары:

$$\dfrac{(m_1+m_2)u^2}{2}=(m_1+m_2)gh\quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{u^2}{2g}=\dfrac{v^2}{9\cdot2g}=\dfrac{l}{9}.$$

Шаг 4 — длина нити:

$$l=h\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\right)^2=0{,}1\cdot9=0{,}9\ \text{м}.$$

Проверим себя. Пара поднялась на $10$ см — намного ниже, чем стартовал первый шарик ($90$ см): при неупругом ударе энергия теряется. Перед ударом энергия первого шарика $m_1gl=0{,}4\cdot10\cdot0{,}9=3{,}6$ Дж, после подъёма у пары $1{,}2\cdot10\cdot0{,}1=1{,}2$ Дж — две трети ушло в тепло, как и должно быть при доле $\dfrac{m_1}{m_1+m_2}=\dfrac13$, сохранившейся после удара. Ускорение свободного падения из ответа выпало: на Луне длина нитей вышла бы той же.