Задание 26 ЕГЭ по физике №00048598

Что здесь происходит. Шарик скатывается по трубке, проходит петлю и вылетает из правого конца горизонтально. Пока он движется, трубка толкает его, а он — трубку, поэтому платформа тоже приходит в движение и уезжает в другую сторону. Часть энергии, которую шарик терял, опускаясь с высоты $H$ до $h$, достаётся платформе. Нужно найти высоту $h$ конца трубки.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной; скорость шарика $v$ и скорость платформы $u$ — относительно стола. Шарик — материальная точка, платформа с трубкой движется поступательно, поэтому её описываем одной скоростью. На систему «шарик + платформа» действуют внешние силы: силы тяжести и сила реакции гладкого стола — все вертикальные. Горизонтальных внешних сил нет, значит, горизонтальная проекция импульса системы сохраняется, а она была равна нулю — система покоилась. Трения нет нигде; силы, с которыми шарик и трубка давят друг на друга, — внутренние силы системы. Над шариком сила реакции трубки работу совершает (трубка сама движется), но над платформой парная ей сила совершает работу той же величины с обратным знаком, так что суммарная работа внутренних сил равна нулю, и механическая энергия системы сохраняется.

Шаг 1 — импульс. Шарик вылетает горизонтально со скоростью $v$, платформа едет в противоположную сторону со скоростью $u$:

$$0=mv-8mu\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{v}{8}=\dfrac{2}{8}=0{,}25\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — энергия. В начале всё покоится, шарик на высоте $H$; в конце шарик на высоте $h$ со скоростью $v$, платформа — со скоростью $u$ (её высота не изменилась):

$$mgH=mgh+\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{8mu^2}{2}.$$

Делим на $m$ и подставляем $u=\dfrac{v}{8}$:

$$g(H-h)=\dfrac{v^2}{2}+\dfrac{v^2}{16}=\dfrac{9v^2}{16}\quad\Rightarrow\quad h=H-\dfrac{9v^2}{16g}.$$

Шаг 3 — числа:

$$h=0{,}4-\dfrac{9\cdot4}{16\cdot10}=0{,}4-0{,}225=0{,}175\ \text{м}.$$

Проверим себя. Если бы платформу закрепили, вся энергия досталась бы шарику, и для той же скорости $2$ м/с хватило бы опуститься на $\dfrac{v^2}{2g}=0{,}2$ м, то есть конец трубки был бы на высоте $0{,}2$ м. У нас платформа уносит часть энергии, поэтому шарику нужно опуститься сильнее, и конец трубки ниже — $0{,}175$ м. Форма и размеры петли в ответ не вошли: оба закона сохранения связывают только начальное и конечное состояния.