Задание 26 ЕГЭ по физике №00048589

Что здесь происходит. Второй шарик налетает на первый, лежащий у самого края стола, шарики слипаются, и комок слетает со стола горизонтально. Дальше он падает с высоты $1{,}25$ м. Чтобы улететь дальше $0{,}3$ м, комку нужна достаточно большая скорость, а она тем больше, чем тяжелее налетающий шарик. Найдём границу для его массы — обозначим её $M$.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Шарики — материальные точки: их размеры малы, дальность отсчитываем от края стола. Удар центральный — скорость налетающего шарика направлена по линии центров, и после удара комок движется вдоль неё же, горизонтально. Удар кратковременный: силы взаимодействия шариков при ударе много больше силы трения о стол, а сила тяжести и сила реакции стола вертикальны, поэтому горизонтальная проекция импульса системы двух шариков при ударе сохраняется. Пластилиновые шарики слипаются — удар абсолютно неупругий, механическая энергия при нём не сохраняется. После удара на комок действует только сила тяжести (сопротивления воздуха нет): по горизонтали он движется равномерно, по вертикали падает без начальной вертикальной скорости.

Шаг 1 — время падения. Вертикальная начальная скорость равна нулю:

$$h=\dfrac{gt^2}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}25}{10}}=0{,}5\ \text{с}.$$

Шаг 2 — нужная скорость комка. Дальность $s=ut$ должна быть больше $L$:

$$u\gt\dfrac{L}{t}=\dfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6\ \text{м/с}.$$

Шаг 3 — удар. Горизонтальный импульс сохраняется:

$$Mv=(M+m)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{M}{M+m}\,v.$$

Шаг 4 — условие на массу:

$$\dfrac{Mv}{M+m}\gt\dfrac{L}{t}\quad\Rightarrow\quad M\left(v-\dfrac{L}{t}\right)\gt m\dfrac{L}{t}\quad\Rightarrow\quad M\gt\dfrac{m\,L/t}{v-L/t}=\dfrac{0{,}1\cdot0{,}6}{0{,}9-0{,}6}=0{,}2\ \text{кг}.$$

Проверим себя. При $M=0{,}2$ кг комок получает скорость $\dfrac{0{,}2\cdot0{,}9}{0{,}3}=0{,}6$ м/с и пролетает ровно $0{,}6\cdot0{,}5=0{,}3$ м — это граница. При большей массе скорость комка ближе к $0{,}9$ м/с, и он улетает дальше; но даже бесконечно тяжёлый шарик дал бы не больше $0{,}9\cdot0{,}5=0{,}45$ м, так что расстояние $0{,}3$ м вообще достижимо.