Задание 26 ЕГЭ по физике №00048588

Что здесь происходит. Два одинаковых шарика летят одновременно: один брошен под углом $30^\circ$, другой просто падает. Через $1$ с они сталкиваются и слипаются, и комок летит горизонтально. Слово «горизонтально» — главная подсказка условия: у комка нет вертикальной скорости. Значит, вертикальные импульсы шариков перед ударом в сумме дают ноль. Осталось записать, какие вертикальные скорости успели набрать шарики за $1$ с.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шарики маленькие — материальные точки. Сопротивления воздуха нет, поэтому в полёте на каждый шарик действует только сила тяжести, и оба движутся с одним и тем же ускорением $\vec g$ — для них годятся формулы равноускоренного движения. Удар длится очень короткое время: силы взаимодействия шариков при ударе гораздо больше силы тяжести, и её импульс за время удара пренебрежимо мал. Поэтому импульс системы двух шариков при ударе сохраняется — в том числе его вертикальная проекция. Механическая энергия при абсолютно неупругом ударе не сохраняется, она нам и не нужна.

Шаг 1 — вертикальные скорости перед ударом. Ось $y$ направим вверх. Брошенный шарик стартовал с вертикальной скоростью $v_0\sin\alpha$, и за время $t_1$ сила тяжести уменьшила её на $gt_1$:

$$v_{1y}=v_0\sin\alpha-gt_1.$$

Второй шарик начал падать из покоя, поэтому к моменту удара он уже летит вниз:

$$v_{2y}=-gt_1.$$

Шаг 2 — закон сохранения импульса в проекции на вертикаль. Массы шариков одинаковы ($m$), после удара комок массой $2m$ летит горизонтально, его вертикальная скорость равна нулю:

$$mv_{1y}+mv_{2y}=2m\cdot0\quad\Rightarrow\quad v_0\sin\alpha-gt_1-gt_1=0.$$

Шаг 3 — выражаем начальную скорость:

$$v_0=\dfrac{2gt_1}{\sin\alpha}=\dfrac{2\cdot10\cdot1}{0{,}5}=40\ \text{м/с}.$$

Проверим себя. Через $1$ с брошенный шарик находится на высоте $y=v_0\sin\alpha\cdot t_1-\dfrac{gt_1^2}{2}=20\cdot1-5=15$ м — он действительно ещё в воздухе. Его вертикальная скорость в этот момент $20-10=10$ м/с вверх, а у второго шарика — $10$ м/с вниз: в сумме ноль, как и требует условие. Второй шарик за $1$ с пролетел $5$ м, значит, он начал падать с высоты $20$ м.