Задание 26 ЕГЭ по физике №00048542

Что здесь происходит. Шайба налетает на брусок, привязанный пружиной к стене, и упруго от него отскакивает. Брусок, получив скорость, сжимает пружину на $4$ см. По этому сжатию нужно восстановить скорость шайбы до удара — то есть пройти цепочку событий в обратном порядке: сначала от сжатия к скорости бруска, потом от скорости бруска к скорости шайбы.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Шайба небольшая, брусок движется поступательно — это материальные точки (у всех точек бруска одинаковая скорость, пружина лёгкая и своей массы не имеет). Удар кратковременный: за время удара брусок практически не смещается и сила пружины не успевает изменить импульс, внешних горизонтальных сил нет (стол гладкий, сопротивления воздуха нет) — значит, горизонтальный импульс системы «шайба + брусок» при ударе сохраняется. Удар абсолютно упругий — сохраняется и кинетическая энергия. После удара брусок движется под действием только силы упругости пружины, трения нет — механическая энергия системы «брусок + пружина» сохраняется. Шайба после удара отскакивает от стены и на пружину не действует.

Рисунок сил. При ударе по горизонтали на шайбу и брусок действуют только силы их взаимодействия, по вертикали силы тяжести уравновешены реакциями стола. При сжатии на брусок действуют $M\vec g$, реакция стола и сила упругости пружины, направленная от стены.

Шаг 1 — скорость бруска после удара. Масса бруска $M=nm=0{,}8$ кг. В момент наибольшего сжатия брусок останавливается:

$$\dfrac{Mu^2}{2}=\dfrac{k\Delta x^2}{2}\quad\Rightarrow\quad u=\Delta x\sqrt{\dfrac{k}{M}}=0{,}04\cdot\sqrt{\dfrac{2000}{0{,}8}}=0{,}04\cdot50=2\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — связь со скоростью шайбы. Для упругого удара (ось к стене):

$$mv_0=mv_1+Mu,\qquad mv_0^2=mv_1^2+Mu^2.$$

Из первого $m(v_0-v_1)=Mu$, из второго $m(v_0-v_1)(v_0+v_1)=Mu^2$; делим — $v_0+v_1=u$, то есть $v_0-u=-v_1$: скорость сближения тел до удара равна скорости их расхождения после. Исключая $v_1$, получаем $u=\dfrac{2mv_0}{m+M}=\dfrac{2v_0}{n+1}$.

Шаг 3 — скорость шайбы:

$$v_0=\dfrac{(n+1)u}{2}=\dfrac{\Delta x(n+1)}{2}\sqrt{\dfrac{k}{nm}}=\dfrac{11\cdot2}{2}=11\ \text{м/с}.$$

Проверим себя. После удара шайба движется со скоростью $v_1=u-v_0=2-11=-9$ м/с, то есть от стены, и брусок больше не догоняет. Энергия: $\dfrac{0{,}08\cdot11^2}{2}=4{,}84$ Дж до удара, после — $\dfrac{0{,}08\cdot9^2}{2}+\dfrac{0{,}8\cdot2^2}{2}=3{,}24+1{,}6=4{,}84$ Дж; пружина при сжатии на $4$ см запасает $\dfrac{2000\cdot0{,}04^2}{2}=1{,}6$ Дж — ровно энергию бруска.