Задание 26 ЕГЭ по физике №00048541

Что здесь происходит. Лёгкая шайба налетает на тяжёлый брусок, который пружиной соединён со стеной. Удар упругий: шайба отскакивает назад, а брусок получает скорость и начинает сжимать пружину. Когда брусок остановится, сжатие будет наибольшим. Задача распадается на два этапа: удар и сжатие пружины.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Шайба небольшая, брусок движется поступательно — оба тела описываем как материальные точки. Удар длится очень короткое время: брусок за это время почти не смещается, пружина почти не успевает деформироваться, и её сила (конечная по величине) не меняет импульс за время удара. Стол гладкий, сопротивлением воздуха пренебрегаем, вертикальные силы (тяжести и реакции стола) скомпенсированы — поэтому горизонтальный импульс системы «шайба + брусок» во время удара сохраняется. Удар абсолютно упругий, значит, сохраняется и кинетическая энергия тел. После удара на брусок по горизонтали действует только сила упругости лёгкой пружины, трения нет — механическая энергия системы «брусок + пружина» сохраняется. Шайба после удара движется от стены и в сжатии пружины не участвует.

Рисунок сил. Во время удара на шайбу и брусок по горизонтали действуют только силы их взаимодействия (равные по модулю и противоположные, третий закон Ньютона), по вертикали — силы тяжести и реакции стола. При сжатии пружины на брусок действуют $M\vec g$ вниз, реакция стола вверх и сила упругости пружины, направленная от стены.

Шаг 1 — скорость бруска после удара. Масса бруска $M=nm=0{,}4$ кг. Пусть $v_1$ — скорость шайбы, $u$ — скорость бруска после удара (ось к стене):

$$mv_0=mv_1+Mu,\qquad \dfrac{mv_0^2}{2}=\dfrac{mv_1^2}{2}+\dfrac{Mu^2}{2}.$$

Перепишем: $m(v_0-v_1)=Mu$ и $m(v_0-v_1)(v_0+v_1)=Mu^2$. Разделив второе на первое, получим $v_0+v_1=u$. Подставляем в первое:

$$u=\dfrac{2mv_0}{m+M}=\dfrac{2v_0}{n+1}=\dfrac{2\cdot11}{11}=2\ \text{м/с}.$$

Скорость шайбы $v_1=u-v_0=2-11=-9$ м/с: она отскакивает от стены.

Шаг 2 — сжатие пружины. В момент наибольшего сжатия брусок останавливается, вся его кинетическая энергия переходит в энергию пружины:

$$\dfrac{Mu^2}{2}=\dfrac{k\Delta x^2}{2}\quad\Rightarrow\quad\Delta x=u\sqrt{\dfrac{M}{k}}=2\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}4}{1000}}=2\cdot0{,}02=0{,}04\ \text{м}=4\ \text{см}.$$

Проверим себя. Энергия до удара $\dfrac{0{,}04\cdot11^2}{2}=2{,}42$ Дж; после удара у шайбы $\dfrac{0{,}04\cdot9^2}{2}=1{,}62$ Дж, у бруска $\dfrac{0{,}4\cdot2^2}{2}=0{,}8$ Дж — в сумме $2{,}42$ Дж, удар действительно упругий. Импульс: $0{,}04\cdot11=0{,}44$ и $0{,}04\cdot(-9)+0{,}4\cdot2=0{,}44$ кг·м/с — сходится. Если бы шайба прилипла к бруску, общая скорость была бы $1$ м/с, энергия $\dfrac{0{,}44\cdot1^2}{2}=0{,}22$ Дж меньше $0{,}8$ Дж — сжатие было бы меньше.