Задание 26 ЕГЭ по физике №00048539

Что здесь происходит. Брусок соскальзывает с подвижной горки, горка откатывается в противоположную сторону. Брусок упруго отскакивает от стены, догоняет горку и въезжает на её склон. Потенциальная энергия бруска относительно стола равна $mgh$, где $h$ — высота, на которую он поднимется. Значит, задача сводится к поиску этой высоты.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Брусок маленький — материальная точка, горка движется поступательно. Трения нет. Пока брусок взаимодействует с горкой (соскальзывание и подъём), внешние силы, действующие на систему «брусок + горка», вертикальны (тяжести и реакция стола), поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса системы; вертикальная проекция не сохраняется — реакция стола меняется, пока брусок движется по склону вверх или вниз. Силы реакции между бруском и горкой внутренние, трения нет — механическая энергия системы сохраняется. Удар о стену абсолютно упругий: кинетическая энергия бруска при ударе не меняется, меняется только направление скорости; горка в ударе не участвует. В высшей точке подъёма брусок не движется относительно горки — их горизонтальные скорости равны.

Шаг 1 — массы. $M=1$ кг, $m=\dfrac{M}{2}=0{,}5$ кг.

Шаг 2 — соскальзывание. Пусть $v$ и $V$ — скорости бруска и горки на столе (в противоположные стороны). Импульс был нулевым:

$$mv=MV\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{v}{2};\qquad mgH=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{3mv^2}{4}\quad\Rightarrow\quad v^2=\dfrac{4gH}{3}.$$

Горка забрала треть начальной энергии: $\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{mv^2}{4}=\dfrac{mgH}{3}$.

Шаг 3 — после удара о стену брусок движется со скоростью $v$ в ту же сторону, что и горка со скоростью $\dfrac{v}{2}$. Импульс системы теперь не нулевой, оба импульса направлены одинаково.

Шаг 4 — высшая точка. Общая скорость $u$:

$$mv+MV=(m+M)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{2v}{3}.$$

Энергия:

$$\dfrac{3mv^2}{4}=\dfrac{3m}{2}\cdot\dfrac{4v^2}{9}+mgh\quad\Rightarrow\quad mgh=\dfrac{mv^2}{12}=\dfrac{m}{12}\cdot\dfrac{4gH}{3}=\dfrac{mgH}{9}.$$

Шаг 5 — потенциальная энергия:

$$U=mgh=\dfrac{mgH}{9}=\dfrac{MgH}{18}=\dfrac{1\cdot10\cdot0{,}54}{18}=0{,}3\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. Высота подъёма $h=\dfrac{H}{9}=6$ см, $U=0{,}5\cdot10\cdot0{,}06=0{,}3$ Дж. Полная энергия системы $mgH=0{,}5\cdot10\cdot0{,}54=2{,}7$ Дж; в высшей точке кинетическая энергия тел $\dfrac{(m+M)u^2}{2}=\dfrac{3m}{2}\cdot\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{4gH}{3}=\dfrac{8mgH}{9}=2{,}4$ Дж, вместе с $U$ — $2{,}7$ Дж. Сходится.