Задание 26 ЕГЭ по физике №00048538

Что здесь происходит. Брусок соскальзывает с подвижной горки: горка при этом откатывается в другую сторону. Брусок доезжает до стены, упруго отскакивает и, двигаясь быстрее горки, догоняет её и въезжает на склон. На склоне он поднимается, пока не перестанет двигаться относительно горки. Нужно найти эту наибольшую высоту. Движение делится на три этапа: соскальзывание, удар о стену, подъём на горку.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Брусок маленький — материальная точка; горка движется поступательно, её описываем одной скоростью. Трения нет нигде. На этапах соскальзывания и подъёма внешние силы, действующие на систему «брусок + горка», — силы тяжести и реакция стола — вертикальны, поэтому горизонтальная проекция импульса системы сохраняется; силы реакции между бруском и горкой внутренние, трения нет — механическая энергия системы сохраняется. При ударе о стену на брусок действует внешняя сила стены, поэтому импульс системы на этом этапе не сохраняется; удар абсолютно упругий — модуль скорости бруска не меняется, меняется только направление; горка в ударе не участвует и продолжает ехать с прежней скоростью. В момент наибольшего подъёма брусок не движется относительно горки: их горизонтальные скорости равны, вертикальная скорость бруска равна нулю.

Шаг 1 — соскальзывание. Пусть брусок съехал со скоростью $v$, а горка поехала в противоположную сторону со скоростью $V$. Сначала всё покоилось:

$$mv=MV\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{m}{M}v=\dfrac{v}{2},\qquad mgH=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{2m}{2}\cdot\dfrac{v^2}{4}=\dfrac{3mv^2}{4}.$$

Отсюда $v^2=\dfrac{4gH}{3}$.

Шаг 2 — удар о стену. После упругого удара брусок движется в ту же сторону, что и горка, со скоростью $v$, вдвое большей скорости горки, — поэтому он её и догоняет.

Шаг 3 — подъём. В высшей точке у бруска и горки общая горизонтальная скорость $u$. Теперь импульсы направлены в одну сторону:

$$mv+MV=(m+M)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{mv+2m\cdot\dfrac{v}{2}}{3m}=\dfrac{2v}{3}.$$

Закон сохранения энергии от момента «брусок у подножия горки» до высшей точки:

$$\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{(m+M)u^2}{2}+mgh\quad\Rightarrow\quad\dfrac{3mv^2}{4}=\dfrac{3m}{2}\cdot\dfrac{4v^2}{9}+mgh=\dfrac{2mv^2}{3}+mgh.$$

Отсюда $gh=\dfrac{v^2}{12}$ и

$$h=\dfrac{v^2}{12g}=\dfrac{4gH}{3\cdot12g}=\dfrac{H}{9}=\dfrac{45}{9}=5\ \text{см}.$$

В общем виде $h=H\left(\dfrac{M-m}{M+m}\right)^2$.

Проверим себя. Брусок не может подняться на прежние $45$ см: в высшей точке и брусок, и горка ещё движутся, и часть энергии остаётся кинетической. Если бы горка была закреплена, она не уносила бы энергию, и брусок после упругого удара поднялся бы ровно на $H$ — формула при $M\to\infty$ это и даёт.