Тепловые Явления — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048502

Что тут происходит. Ток, который греет воду в чайнике, проходит и по медным проводам шнура. У проводов есть небольшое сопротивление, поэтому они тоже понемногу греются. Остывать им некогда (потерями теплоты пренебрегаем), так что нагрев от каждого цикла кипячения складывается. Нужно понять, на сколько градусов шнур нагревается за один цикл, и сколько таких циклов укладывается в допустимые $50\,^\circ$C.

Дано: $P=1500$ Вт, $U=120$ В, $t=2$ мин $=120$ с, $\Delta t_{\max}=50\,^\circ$C, $l=1$ м, $d=1{,}8$ мм, $\rho=0{,}0175$ Ом$\cdot$мм²/м $=1{,}75\cdot10^{-8}$ Ом$\cdot$м, $\rho_{\text{м}}=8920$ кг/м³; удельная теплоёмкость меди из справочных данных $c=380$ Дж/(кг$\cdot$К). Найти: $N$.

Шаг 1 — ток. Чайник и провода шнура соединены последовательно, по ним идёт один и тот же ток. Из мощности чайника $P=UI$:

$$I=\dfrac{P}{U}=\dfrac{1500}{120}=12{,}5\ \text{А}.$$

Шаг 2 — сопротивление одного провода. Площадь сечения $S=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot1{,}8^2}{4}\approx2{,}54$ мм² $=2{,}54\cdot10^{-6}$ м². Сопротивление провода длиной $l$:

$$R=\dfrac{\rho l}{S}=\dfrac{0{,}0175\cdot1}{2{,}54}\approx6{,}9\cdot10^{-3}\ \text{Ом}.$$

Здесь удобно взять площадь в мм², а длину в метрах — как в единице удельного сопротивления.

Шаг 3 — теплота в проводе за один цикл по закону Джоуля–Ленца:

$$Q=I^2Rt=12{,}5^2\cdot6{,}9\cdot10^{-3}\cdot120\approx129\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — масса провода. Для массы площадь нужна уже в квадратных метрах:

$$m=\rho_{\text{м}}lS=8920\cdot1\cdot2{,}54\cdot10^{-6}\approx2{,}27\cdot10^{-2}\ \text{кг}.$$

Шаг 5 — нагрев провода за один цикл:

$$\Delta t_1=\dfrac{Q}{cm}=\dfrac{129}{380\cdot2{,}27\cdot10^{-2}}\approx\dfrac{129}{8{,}63}\approx15\,^\circ\text{C}.$$

Заметь: и сопротивление, и масса провода пропорциональны длине, поэтому длина сокращается: $\Delta t_1=\dfrac{I^2\rho t}{c\rho_{\text{м}}S^2}$. Не важно и то, сколько в шнуре проводов: каждый греется своим током и своей массой одинаково.

Шаг 6 — число циклов. Шнур не остывает, нагрев за $N$ циклов равен $N\Delta t_1$ и не должен превысить $50\,^\circ$C:

$$N\Delta t_1\le50\quad\Rightarrow\quad N\le\dfrac{50}{15}\approx3{,}3.$$

Циклов может быть только целое число, и четвёртый уже перегрел бы шнур ($4\cdot15=60\,^\circ$C). Значит, $N=3$.

Проверим себя: после трёх циклов шнур нагреется на $\approx45\,^\circ$C — меньше $50$, после четырёх — на $\approx60\,^\circ$C, больше. Ответ $3$ устойчив и к округлению: даже если взять теплоёмкость меди $400$ Дж/(кг$\cdot$К), нагрев за цикл $\approx14\,^\circ$C и $N$ всё равно $3$.