Задание 26 ЕГЭ по физике №00048426

Что здесь происходит. Бусинка на полукруглой проволоке привязана пружиной к верхней точке $A$. Внизу пружина растянута до длины диаметра, и её энергия, освобождаясь, поднимает и разгоняет бусинку. Известны скорость бусинки при определённом угле пружины с вертикалью — по ним нужно найти размер каркаса.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Бусинка маленькая — материальная точка. Проволока гладкая и жёсткая: сила её реакции перпендикулярна скорости бусинки и работы не совершает. Пружина лёгкая, подчиняется закону Гука. Работу совершают только сила тяжести и сила упругости — механическая энергия сохраняется. Начальное воздействие очень малое: в нижней точке бусинка находится в положении неустойчивого равновесия (при малом сдвиге пружина отдаёт энергии больше, чем требует подъём), поэтому достаточно ничтожного толчка, чтобы она поехала, а энергия толчка пренебрежимо мала — начальную скорость считаем нулевой.

Рисунок сил. На бусинку действуют сила тяжести $m\vec g$, сила упругости пружины (вдоль пружины к точке $A$) и сила реакции проволоки $\vec N$ (перпендикулярно проволоке).

Шаг 1 — связь жёсткости, массы и радиуса. Висящая на пружине бусинка в равновесии: $k\dfrac{R}{3}=mg$, то есть $k=\dfrac{3mg}{R}$. Масса и жёсткость по отдельности не нужны — во все энергии войдёт комбинация $mgR$.

Шаг 2 — геометрия. Пусть $C$ — нижняя точка диаметра. Угол $ABC$ опирается на диаметр $AC=2R$ и потому прямой. Длина пружины $AB=2R\cos\alpha$. Хорда $BC=2R\sin\alpha$ составляет с вертикалью угол $90^\circ-\alpha$, поэтому бусинка выше точки $C$ на

$$h=BC\sin\alpha=2R\sin^2\alpha.$$

Осторожно с углом: $\alpha$ — угол при точке $A$, лежащей на окружности (вписанный), а радиус $OB$ отклонён от вертикали на центральный угол $2\alpha$, опирающийся на ту же дугу $BC$. Через центр получаем то же самое: $h=R-R\cos2\alpha=2R\sin^2\alpha$.

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Внизу растяжение пружины $R$, при угле $\alpha$ — $2R\cos\alpha-R$:

$$\dfrac{kR^2}{2}=\dfrac{k(2R\cos\alpha-R)^2}{2}+mg\cdot2R\sin^2\alpha+\dfrac{mV^2}{2}.$$

С $k=\dfrac{3mg}{R}$ и упрощениями $1-(2\cos\alpha-1)^2=4\cos\alpha(1-\cos\alpha)$, $\sin^2\alpha=(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$ получаем

$$V^2=4gR(1-\cos\alpha)(2\cos\alpha-1)\quad\Rightarrow\quad R=\dfrac{V^2}{4g(1-\cos\alpha)(2\cos\alpha-1)}.$$

Шаг 4 — числа. $\cos\alpha=\dfrac{5}{6}$: $1-\cos\alpha=\dfrac16$, $2\cos\alpha-1=\dfrac23$, произведение $\dfrac19$:

$$R=\dfrac{2^2}{4\cdot10\cdot\frac19}=\dfrac{4\cdot9}{40}=0{,}9\ \text{м}.$$

Проверим себя подстановкой. При $R=0{,}9$ м: $V^2=4\cdot10\cdot0{,}9\cdot\dfrac19=4$ м²/с², $V=2$ м/с — совпадает. Угол $\arccos\dfrac{5}{6}\approx34^\circ$ меньше $60^\circ$, где пружина возвращается к длине $R$ и бусинка останавливается, — значит, бусинка действительно до него доезжает. И масштаб: при том же угле все слагаемые энергии пропорциональны $mgR$, поэтому $V^2\propto R$ — вчетверо больший каркас дал бы вдвое большую скорость. Та же формула в другой записи: $R=\dfrac{V^2}{4g(3\cos\alpha-2\cos^2\alpha-1)}$.