Задание 26 ЕГЭ по физике №00048384

Что здесь происходит. Бусинка надета на полукруглую проволоку и привязана пружиной к верхней точке $A$. В нижней точке пружина сильно растянута — её длина равна диаметру $2R$. Бусинку чуть толкнули, она поехала вверх по дуге, пружина при этом укорачивается и отдаёт запасённую энергию, а бусинка поднимается и разгоняется. Нужно найти скорость при заданном угле пружины с вертикалью.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй (с каркасом), считаем инерциальной. Бусинка маленькая — материальная точка. Проволока гладкая и жёсткая, поэтому её сила реакции всегда перпендикулярна проволоке, то есть перпендикулярна скорости бусинки, и работы не совершает; трения нет. Пружина лёгкая и упругая: считаем, что закон Гука с одной и той же жёсткостью выполняется и при растяжении $R/3$, и при растяжении $R$ в нижней точке (деформации остаются упругими). Сила упругости и сила тяжести — консервативные силы. Значит, механическая энергия системы «бусинка — пружина — Земля» сохраняется. Начальное воздействие очень малое — начальную скорость считаем равной нулю.

Рисунок сил. На бусинку действуют сила тяжести $m\vec g$ (вниз), сила упругости пружины (вдоль пружины к точке $A$) и сила реакции проволоки $\vec N$ (по радиусу каркаса, перпендикулярно скорости).

Шаг 1 — жёсткость пружины. Бусинка, висящая на пружине, в равновесии: $k\dfrac{R}{3}=mg$, откуда $k=\dfrac{3mg}{R}$.

Шаг 2 — длина пружины и высота бусинки. Точка $B$ лежит на окружности с диаметром от $A$ до нижней точки $C$, поэтому угол $ABC$ прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр). В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AC=2R$ катет $AB=2R\cos\alpha$ — это длина пружины. Бусинка ниже точки $A$ на $AB\cos\alpha=2R\cos^2\alpha$, значит, выше нижней точки на

$$h=2R-2R\cos^2\alpha=2R\sin^2\alpha.$$

Шаг 3 — растяжения пружины. В нижней точке длина $2R$, растяжение $x_0=R$. При угле $\alpha$ растяжение $x=2R\cos\alpha-R=R(2\cos\alpha-1)$.

Шаг 4 — закон сохранения энергии от нижней точки до положения с углом $\alpha$:

$$\dfrac{kR^2}{2}=\dfrac{kR^2(2\cos\alpha-1)^2}{2}+mg\cdot2R\sin^2\alpha+\dfrac{mv^2}{2}.$$

Подставим $k=\dfrac{3mg}{R}$ и учтём, что $1-(2\cos\alpha-1)^2=4\cos\alpha(1-\cos\alpha)$, а $\sin^2\alpha=(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$:

$$6gR\cos\alpha(1-\cos\alpha)=2gR(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)+\dfrac{v^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v^2=4gR(1-\cos\alpha)(2\cos\alpha-1).$$

Шаг 5 — числа. $\cos\alpha=\dfrac{7}{8}$: $1-\cos\alpha=\dfrac18$, $2\cos\alpha-1=\dfrac34$:

$$v^2=4\cdot10\cdot0{,}6\cdot\dfrac18\cdot\dfrac34=24\cdot\dfrac{3}{32}=2{,}25\ \text{м}^2/\text{с}^2,\qquad v=1{,}5\ \text{м/с}.$$

Проверим себя. Скорость обращается в ноль при $2\cos\alpha-1=0$, то есть при $\alpha=60^\circ$: там длина пружины $2R\cos60^\circ=R$ — она не растянута, и вся её начальная энергия $\dfrac{kR^2}{2}=1{,}5\,mgR$ ушла в подъём на $2R\sin^260^\circ=1{,}5R$. Наш угол $\arccos\dfrac{7}{8}\approx29^\circ$ меньше $60^\circ$ — бусинка до него доезжает. Ту же формулу можно записать иначе: $v=2\sqrt{gR(3\cos\alpha-2\cos^2\alpha-1)}$, ведь $(1-\cos\alpha)(2\cos\alpha-1)=3\cos\alpha-2\cos^2\alpha-1$.