Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048377

Что здесь происходит. Конденсатор зарядили от источника и ключ не размыкали — источник остаётся подключённым. Потом между пластинами медленно заливают воду, а вода — диэлектрик с проницаемостью $81$, поэтому ёмкость конденсатора растёт. При этом источник докачивает на пластины дополнительный заряд и совершает работу. Часть этой работы идёт на рост энергии конденсатора, а часть — на то, что поле само втягивает воду внутрь. Внешние силы, которые заполняют конденсатор медленно, эту воду придерживают. По закону сохранения энергии найдём их работу.

Дано: $U=1$ кВ $=10^3$ В, $S=100$ см² $=10^{-2}$ м², $d=8{,}85$ мм $=8{,}85\cdot10^{-3}$ м, $\varepsilon=81$, $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м. Найти: работу внешних сил $A_{\text{внеш}}$.

Шаг 1 — ёмкость без воды. Для плоского конденсатора

$$C_0=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}=\dfrac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}}{8{,}85\cdot10^{-3}}=10^{-11}\ \text{Ф}=10\ \text{пФ}.$$

С водой ёмкость в $\varepsilon$ раз больше: $C=\varepsilon C_0=81\cdot10^{-11}$ Ф.

Шаг 2 — что остаётся постоянным. Ключ замкнут, конденсатор подключён к источнику через резистор. Заполнение идёт очень медленно, ток зарядки ничтожен, напряжение на резисторе практически равно нулю — поэтому на конденсаторе всё время напряжение источника $U$.

Шаг 3 — изменение заряда и энергии конденсатора. Ёмкость выросла на $(\varepsilon-1)C_0$ — именно на эту величину, а не на $\varepsilon C_0$. Заряд и энергия выросли:

$$\Delta q=(\varepsilon-1)C_0U=80\cdot10^{-11}\cdot10^3=8\cdot10^{-7}\ \text{Кл},$$

$$\Delta W=\dfrac{(\varepsilon-1)C_0U^2}{2}=\dfrac{80\cdot10^{-11}\cdot10^6}{2}=4\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — работа источника. Заряд $\Delta q$ прошёл через источник при неизменном напряжении $U$, поэтому его работа равна $U\Delta q$ — без половинки:

$$A_{\text{ист}}=U\Delta q=(\varepsilon-1)C_0U^2=10^3\cdot8\cdot10^{-7}=8\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.$$

Шаг 5 — закон сохранения энергии. Энергию в систему приносят источник и внешние силы; она идёт на изменение энергии конденсатора и на тепло в резисторе. Тепло при очень медленном процессе пренебрежимо мало (ток почти нулевой, $Q=I^2Rt\to0$), поэтому

$$A_{\text{ист}}+A_{\text{внеш}}=\Delta W\quad\Rightarrow\quad A_{\text{внеш}}=\Delta W-A_{\text{ист}}=4\cdot10^{-4}-8\cdot10^{-4}=-4\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.$$

В общем виде $A_{\text{внеш}}=-\dfrac{(\varepsilon-1)\varepsilon_0SU^2}{2d}=-0{,}4$ мДж.

Почему знак минус — проверим себя по смыслу. Поле конденсатора втягивает диэлектрик внутрь: источник отдал энергии вдвое больше, чем запас конденсатор, и «лишняя» половина ушла на работу поля над водой. Чтобы заполнение шло очень медленно, внешние силы должны воду придерживать — действовать против её движения. Работа силы, направленной против перемещения, отрицательна.

Почему модель законна. Вода не проводит ток, поэтому это чистый диэлектрик и формула $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d}$ применима; краевыми эффектами плоского конденсатора пренебрегаем. Процесс очень медленный — кинетической энергии у воды нет, джоулевым теплом в резисторе пренебрегаем; внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. Значение $R$ поэтому в ответ не входит.