Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048294

Что здесь происходит. Конденсатор всё время подключён к источнику, поэтому напряжение между пластинами остаётся равным $U$. Когда нижние две трети пластин оказываются в жидкости с $\varepsilon=4$, на пластины натекает дополнительный заряд, ёмкость и энергия растут. Нужно найти, во сколько раз выросла энергия.

Дано: ёмкость в воздухе $C$, напряжение источника $U$ (постоянно), погружено $\dfrac23$ высоты пластин, $\varepsilon=4$. Найти: $\dfrac{W'}{W_0}$.

Шаг 1 — что задаёт источник. Пока конденсатор подключён, напряжение на нём равно напряжению источника $U$ и при погружении не меняется. Значит, и напряжённость поля $E=\dfrac{U}{d}$ между пластинами одна и та же — и в воздушной, и в погружённой части.

Шаг 2 — новый заряд. При одинаковой напряжённости поле у пластин в жидкости создаётся зарядом, в $\varepsilon$ раз большим на единицу площади, чем в воздухе (диэлектрик ослабляет поле в $\varepsilon$ раз, и источник «докачивает» заряд, чтобы поле осталось прежним). Если в воздухе весь заряд был $q_0=CU$, то теперь верхняя треть несёт $\dfrac13q_0$, а нижние две трети — $\varepsilon\cdot\dfrac23q_0$:

$$q'=\dfrac13q_0+4\cdot\dfrac23q_0=3q_0,\qquad C'=\dfrac{q'}{U}=3C.$$

Тот же результат даёт картина двух параллельных конденсаторов: $\dfrac13C+4\cdot\dfrac23C=3C$.

Шаг 3 — энергия при неизменном напряжении. Здесь удобна формула $W=\dfrac{CU^2}{2}$: напряжение то же, ёмкость выросла втрое:

$$\dfrac{W'}{W_0}=\dfrac{C'U^2/2}{CU^2/2}=\dfrac{C'}{C}=3.$$

Энергия увеличится в $3$ раза.

Проверим себя. Источник протолкнул дополнительный заряд $\Delta q=2CU$ и совершил работу $A=U\Delta q=2CU^2$, а энергия конденсатора выросла только на $\Delta W=\dfrac{3CU^2}{2}-\dfrac{CU^2}{2}=CU^2$ — вдвое меньше. Вторая половина работы источника ушла на то, чтобы поле втянуло жидкость между пластинами. Для сравнения: у отключённого конденсатора энергия при том же погружении уменьшилась бы втрое — там постоянен заряд, а не напряжение.

Почему модель законна. Конденсатор плоский, краевыми эффектами пренебрегаем — поле в каждой части однородно. Источник идеальный, напряжение $U$ постоянно; жидкость — однородный диэлектрик.