Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048292

Что здесь происходит. Конденсатор зарядили и отключили от источника — заряду на пластинах больше некуда деться. Потом нижние две трети пластин опустили в жидкость с $\varepsilon=4$. Ёмкость от этого вырастет, а энергия при неизменном заряде уменьшится. Нужно найти, во сколько раз.

Дано: ёмкость в воздухе $C$, напряжение при зарядке $U$, погружено $\dfrac23$ высоты пластин, $\varepsilon=4$, перед погружением конденсатор отключён. Найти: $\dfrac{W'}{W_0}$.

Шаг 1 — что сохраняется. Через продолжительное время конденсатор зарядился до напряжения $U$, его заряд $q=CU$. После отключения от источника пластины изолированы, поэтому заряд $q$ не меняется.

Шаг 2 — новая ёмкость. Пластины вертикальны, поверхность жидкости горизонтальна, поэтому граница «воздух — жидкость» делит каждую пластину на верхнюю и нижнюю части. Получаются два плоских конденсатора с общими пластинами — они соединены параллельно, их ёмкости складываются. Ёмкость плоского конденсатора пропорциональна площади пластин и диэлектрической проницаемости:

$$C_{\text{возд}}=\dfrac13C,\qquad C_{\text{жидк}}=\varepsilon\cdot\dfrac23C=4\cdot\dfrac23C=\dfrac83C,$$

$$C'=C_{\text{возд}}+C_{\text{жидк}}=\dfrac13C+\dfrac83C=3C.$$

Шаг 3 — энергия при неизменном заряде. Удобно записать энергию через заряд: $W=\dfrac{q^2}{2C}$. Заряд тот же, ёмкость выросла втрое:

$$\dfrac{W'}{W_0}=\dfrac{q^2/(2C')}{q^2/(2C)}=\dfrac{C}{C'}=\dfrac{C}{3C}=\dfrac13.$$

Энергия уменьшится в $3$ раза.

Проверим себя через напряжение. При неизменном заряде напряжение $U'=\dfrac{q}{C'}=\dfrac{U}{3}$ — упало втрое. Энергия $W=\dfrac{qU}{2}$: заряд тот же, напряжение втрое меньше — энергия тоже втрое меньше. Сходится. Куда ушла энергия? Поле конденсатора втягивает диэлектрик между пластинами — жидкость поднимается, и на это идёт часть запасённой энергии.

Почему модель законна. Конденсатор плоский, краевыми эффектами пренебрегаем — поле однородно, ёмкость каждой части пропорциональна её площади. Утечки заряда нет (конденсатор изолирован), жидкость — однородный диэлектрик.