Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048268

Что здесь происходит. После замыкания ключа конденсатор заряжается через резистор. Ток сначала большой, потом спадает до нуля: чем сильнее заряжен конденсатор, тем меньше напряжения остаётся резистору. Поскольку ток всё время меняется, теплоту через закон Джоуля — Ленца «в лоб» не посчитать. Зато её можно найти из закона сохранения энергии: работа источника идёт на энергию конденсатора и на теплоту.

Дано: $\mathcal{E}=100$ В, $R=50$ Ом, $C=20$ мкФ $=2\cdot10^{-5}$ Ф, вначале конденсатор не заряжен. Найти: теплоту $Q$ за время зарядки.

Шаг 1 — конечное состояние. Зарядка заканчивается, когда ток становится равным нулю. Тогда на резисторе нет напряжения ($U_R=IR=0$), и вся ЭДС приходится на конденсатор: $U_C=\mathcal{E}=100$ В. Его заряд и энергия:

$$q=C\mathcal{E}=2\cdot10^{-5}\cdot100=2\cdot10^{-3}\ \text{Кл},\qquad W=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{2\cdot10^{-5}\cdot10^4}{2}=0{,}1\ \text{Дж}.$$

Шаг 2 — работа источника. Через источник прошёл заряд $q$ — столько ушло на одну обкладку конденсатора (и столько же пришло с другой, это тот же ток). Источник переносил каждую порцию заряда при одной и той же ЭДС, поэтому его работа

$$A=\mathcal{E}q=C\mathcal{E}^2=2\cdot10^{-5}\cdot10^4=0{,}2\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — теплота по закону сохранения энергии:

$$Q=A-W=C\mathcal{E}^2-\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}=0{,}2-0{,}1=0{,}1\ \text{Дж}.$$

Наглядно: если нарисовать зависимость напряжения на конденсаторе от его заряда, получится прямая от нуля до $\mathcal{E}$. Энергия конденсатора — площадь треугольника под этой прямой, $\dfrac{q\mathcal{E}}{2}$, а работа источника — площадь прямоугольника $q\mathcal{E}$. Оставшийся треугольник — это теплота.

Проверим себя. В тепло ушла ровно половина работы источника: $\dfrac{0{,}1}{0{,}2}=\dfrac{1}{2}$. Эта доля не зависит ни от $C$, ни от $\mathcal{E}$, ни от $R$ — при зарядке от источника постоянной ЭДС так выходит всегда. Если бы кто-то посчитал теплоту с начальным током $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=2$ А за всё время зарядки, получилась бы несуразица: ток почти сразу падает.

Почему модель законна. Источник идеальный (его внутреннее сопротивление можно считать частью $R$ — на ответ это не влияет), излучением пренебрегаем, вся энергия, не запасённая в конденсаторе, выделяется теплом; зарядка заканчивается установившимся состоянием без тока.