Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048297

Что здесь происходит. До замыкания ключа заряжен только конденсатор $C_1$. После замыкания часть заряда перетекает через резистор на пустой конденсатор $C_2$. Ток идёт, пока напряжения на конденсаторах не сравняются, а резистор при этом греется. Заряд сохраняется, а энергия конденсаторов уменьшается — убыль и есть теплота. Зная теплоту, найдём начальное напряжение.

Дано: $C_1=20$ мкФ, $C_2=10$ мкФ, $R=10$ Ом, $Q=50$ мкДж, вначале $C_2$ не заряжен. Найти: начальное напряжение $U_1$ на $C_1$.

Шаг 1 — конечное состояние. Когда ток прекратится, на резисторе не будет напряжения. Тогда при обходе контура напряжения конденсаторов уравновешивают друг друга — они равны по модулю, и конденсаторы фактически соединены параллельно, общая ёмкость $C_1+C_2=30$ мкФ.

Шаг 2 — закон сохранения заряда. Обкладки, соединённые между собой через ключ (и, отдельно, через резистор), ни с чем больше не связаны, поэтому начальный заряд $q_0=C_1U_1$ просто распределяется между двумя конденсаторами:

$$C_1U_1=(C_1+C_2)U\quad\Rightarrow\quad U=\dfrac{C_1U_1}{C_1+C_2}=\dfrac{20}{30}U_1=\dfrac{2}{3}U_1.$$

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Теплота равна убыли энергии конденсаторов:

$$Q=\dfrac{C_1U_1^2}{2}-\dfrac{(C_1+C_2)U^2}{2}=\dfrac{C_1U_1^2}{2}\left(1-\dfrac{C_1}{C_1+C_2}\right)=\dfrac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}U_1^2.$$

Шаг 4 — выражаем напряжение. Ёмкости можно оставить в микрофарадах, а теплоту в микроджоулях — множитель $10^{-6}$ стоит с обеих сторон:

$$U_1=\sqrt{\dfrac{2Q(C_1+C_2)}{C_1C_2}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot50\cdot30}{20\cdot10}}=\sqrt{\dfrac{3000}{200}}=\sqrt{15}\approx3{,}87\ \text{В}\approx3{,}9\ \text{В}.$$

Проверим себя обратным счётом с $U_1=\sqrt{15}$ В: начальная энергия $\dfrac{20\cdot15}{2}=150$ мкДж, конечное напряжение $\dfrac23\sqrt{15}$ В, конечная энергия $\dfrac{30\cdot\frac49\cdot15}{2}=100$ мкДж, разность $50$ мкДж — как в условии. В тепло ушла треть начальной энергии, а не вся.

Почему модель законна. Конденсаторы идеальные, утечки заряда нет, провода без сопротивления, излучением пренебрегаем — вся убыль энергии выделяется теплом в резисторе. Сопротивление $R$ определяет только скорость перезарядки, на теплоту оно не влияет.