Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048298

Что здесь происходит. Конденсатор заряжен до $4\mathcal{E}=200$ В — вчетверо выше ЭДС батареи. После замыкания ключа он начинает разряжаться, но не «в никуда»: в той же цепи стоит батарея, и ток идёт, только пока напряжения конденсатора и батареи не уравновесят друг друга. Заряд, который при этом стекает с конденсатора, проходит через батарею навстречу её ЭДС — батарея не отдаёт энергию, а заряжается. Поэтому убыль энергии конденсатора делится между батареей и теплом в резисторе.

Дано: $C=30$ мкФ $=3\cdot10^{-5}$ Ф, начальное напряжение $U_0=4\mathcal{E}=200$ В, $R=30$ Ом, $\mathcal{E}=50$ В. Найти: теплоту $Q$.

Шаг 1 — читаем рисунок. У батареи длинная тонкая черта (плюс) сверху, она соединена с левым концом резистора $R$. Правый конец резистора через ключ К идёт к обкладке конденсатора со знаком «+». Обкладка «−» соединена с нижним выводом батареи — её минусом. Значит, плюс конденсатора смотрит на плюс батареи, минус — на минус.

Шаг 2 — конечное состояние. Ток прекратится, когда напряжение на резисторе станет равным нулю. Обходим контур: тогда напряжение на конденсаторе равно ЭДС батареи и той же полярности:

$$U_{\text{к}}=\mathcal{E}=50\ \text{В}.$$

Шаг 3 — какой заряд прошёл через батарею. Вначале на конденсаторе был заряд $q_0=C\cdot4\mathcal{E}$, в конце $q=C\mathcal{E}$. Разница стекла с обкладки «+», прошла через резистор и вошла в батарею со стороны её плюса:

$$\Delta q=4C\mathcal{E}-C\mathcal{E}=3C\mathcal{E}=3\cdot3\cdot10^{-5}\cdot50=4{,}5\cdot10^{-3}\ \text{Кл}.$$

Внутри батареи этот заряд движется от плюса к минусу, то есть против сторонних сил. Их работа отрицательна, и батарея получает энергию

$$W_{\text{б}}=\mathcal{E}\Delta q=3C\mathcal{E}^2=50\cdot4{,}5\cdot10^{-3}=0{,}225\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — энергии конденсатора. Энергия заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^2}{2}$, поэтому в начале и в конце

$$W_0=\dfrac{C(4\mathcal{E})^2}{2}=8C\mathcal{E}^2=8\cdot3\cdot10^{-5}\cdot2500=0{,}6\ \text{Дж},\qquad W_{\text{к}}=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{3\cdot10^{-5}\cdot2500}{2}=0{,}0375\ \text{Дж}.$$

Шаг 5 — закон сохранения энергии. Начальный запас конденсатора ушёл на три вещи: часть осталась в нём самом, часть получила батарея, остальное выделилось теплом в резисторе:

$$W_0=W_{\text{к}}+\mathcal{E}\Delta q+Q.$$

Отсюда

$$Q=8C\mathcal{E}^2-\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}-3C\mathcal{E}^2=\dfrac{9C\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{9\cdot3\cdot10^{-5}\cdot2500}{2}=0{,}3375\ \text{Дж}=337{,}5\ \text{мДж}.$$

Проверим себя. Сложим все части: $0{,}0375+0{,}225+0{,}3375=0{,}6$ Дж — ровно начальная энергия конденсатора. Формула имеет вид $Q=\dfrac{C(4\mathcal{E}-\mathcal{E})^2}{2}$: если бы конденсатор был заряжен ровно до $\mathcal{E}$, тока не было бы и теплота равнялась бы нулю — так и должно быть.

Почему модель законна. Батарея идеальная (внутреннее сопротивление не дано), сопротивление проводов не учитываем, излучением пренебрегаем. Процесс заканчивается установившимся состоянием без тока, поэтому достаточно сравнить начальное и конечное состояния — подробности того, как менялся ток, для баланса энергии не нужны.