Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048376

Что здесь происходит. Источник заряжает батарею из четырёх конденсаторов. Когда зарядка закончилась, ток в цепи больше не идёт: конденсаторы постоянный ток не пропускают. Нам нужно понять, какое напряжение в итоге оказалось на конденсаторе $C_2$, и по нему найти его энергию.

Дано: $\mathcal{E}=10$ В, $C=100$ мкФ, $C_1=3C$, $C_2=2C$, $C_3=4C$, $C_4=C$. Найти: энергию $W_2$ конденсатора $C_2$.

Шаг 1 — читаем схему. Вертикальная перемычка соединяет точку между $C_1$ и $C_2$ с точкой между $C_3$ и $C_4$, значит, это один и тот же узел — назовём его $M$. Левые выводы $C_1$ и $C_3$ сидят на левом проводе (узел $A$), правые выводы $C_2$ и $C_4$ — на правом проводе (узел $B$). Получается: $C_1$ и $C_3$ стоят между одними и теми же узлами $A$ и $M$ — они соединены параллельно; $C_2$ и $C_4$ стоят между $M$ и $B$ — тоже параллельно. А эти две пары идут друг за другом от $A$ к $B$, то есть соединены последовательно.

Шаг 2 — ёмкости пар. При параллельном соединении ёмкости складываются:

$$C_{13}=C_1+C_3=3C+4C=7C,\qquad C_{24}=C_2+C_4=2C+C=3C.$$

Шаг 3 — какое напряжение на батарее. Ток в установившемся режиме равен нулю, поэтому на внутреннем сопротивлении $r$ напряжение не падает (закон Ома: $Ir=0$). Значит, между узлами $A$ и $B$ стоит вся ЭДС: $U_{AB}=\mathcal{E}=10$ В. Поэтому $r$ и не задан числом — он не нужен.

Шаг 4 — как ЭДС делится между парами. Узел $M$ вместе с прилегающими к нему обкладками четырёх конденсаторов ни с чем больше не соединён, до зарядки он был незаряжен — значит, его суммарный заряд так и остаётся нулём. Поэтому заряд $q$ левой пары равен заряду правой пары — как у любых последовательно соединённых конденсаторов:

$$q=C_{13}U_{13}=C_{24}U_{24},\qquad U_{13}+U_{24}=\mathcal{E}.$$

Отсюда напряжение на правой паре:

$$U_{24}=\mathcal{E}\cdot\dfrac{C_{13}}{C_{13}+C_{24}}=10\cdot\dfrac{7C}{7C+3C}=10\cdot0{,}7=7\ \text{В}.$$

Обрати внимание: большее напряжение досталось паре с меньшей ёмкостью — при одинаковом заряде $U=\dfrac{q}{C}$.

Шаг 5 — напряжение на самом $C_2$. Он стоит параллельно $C_4$, а у параллельных элементов напряжение общее: $U_2=U_{24}=7$ В.

Шаг 6 — энергия. Ёмкость $C_2=2C=200$ мкФ $=2\cdot10^{-4}$ Ф. Энергия заряженного конденсатора:

$$W_2=\dfrac{C_2U_2^2}{2}=\dfrac{2\cdot10^{-4}\cdot7^2}{2}=10^{-4}\cdot49=4{,}9\cdot10^{-3}\ \text{Дж}=4{,}9\ \text{мДж}.$$

В общем виде: $W_2=\dfrac{2C\,(0{,}7\mathcal{E})^2}{2}=0{,}49\,C\mathcal{E}^2$.

Проверим себя через заряд. Общая ёмкость батареи $C_{\text{общ}}=\dfrac{7C\cdot3C}{7C+3C}=2{,}1C=210$ мкФ, заряд батареи $q=C_{\text{общ}}\mathcal{E}=210\cdot10=2100$ мкКл. Этот заряд правой пары делится между $C_2$ и $C_4$ пропорционально ёмкостям $2:1$, на $C_2$ приходится $\dfrac23\cdot2100=1400$ мкКл $=1{,}4\cdot10^{-3}$ Кл. Тогда $W_2=\dfrac{q_2^2}{2C_2}=\dfrac{(1{,}4\cdot10^{-3})^2}{2\cdot2\cdot10^{-4}}=\dfrac{1{,}96\cdot10^{-6}}{4\cdot10^{-4}}=4{,}9\cdot10^{-3}$ Дж — то же самое. И это меньше энергии всей батареи $\dfrac{C_{\text{общ}}\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{2{,}1\cdot10^{-4}\cdot100}{2}=10{,}5$ мДж, как и должно быть.

Почему модель законна. Конденсаторы идеальные — заряд с них не утекает, провода без сопротивления; спрашивают про установившееся состояние, когда токи прекратились, поэтому внутреннее сопротивление источника на напряжения не влияет.