Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048305

Что здесь происходит. Два конденсатора заряжены до разных напряжений. Их соединили плюс к плюсу и минус к минусу через резистор. Пока напряжения разные, по резистору течёт ток: более «высокий» конденсатор подзаряжает другой. Когда напряжения сравняются, ток прекратится. Заряд при этом никуда не девается, а часть энергии уходит в тепло на резисторе.

Дано: $C_1=12$ нФ, $C_2=20$ нФ, $U_1=10$ В, $U_2=12$ В. Найти: теплоту $Q$ в резисторе.

Шаг 1 — начальные заряды. По определению ёмкости $q=CU$:

$$q_1=C_1U_1=12\cdot10=120\ \text{нКл},\qquad q_2=C_2U_2=20\cdot12=240\ \text{нКл}.$$

Шаг 2 — соединение. Верхние обкладки (положительные) соединены проводом напрямую, нижние (отрицательные) — через резистор. Когда ток прекратится, на резисторе не будет напряжения, и оба конденсатора окажутся под одним напряжением $U$ — они соединены параллельно, общая ёмкость $C_1+C_2=32$ нФ.

Шаг 3 — закон сохранения заряда. Соединённые верхние обкладки ни с чем, кроме друг друга, не связаны, поэтому их общий заряд сохраняется. Обкладки одноимённые, заряды складываются:

$$U=\dfrac{q_1+q_2}{C_1+C_2}=\dfrac{120+240}{32}=\dfrac{360}{32}=11{,}25\ \text{В}.$$

Шаг 4 — энергии до и после. Энергия конденсатора $W=\dfrac{CU^2}{2}$; с нанофарадами и вольтами она сразу выходит в наноджоулях:

$$W_0=\dfrac{12\cdot10^2}{2}+\dfrac{20\cdot12^2}{2}=600+1440=2040\ \text{нДж},$$

$$W=\dfrac{32\cdot11{,}25^2}{2}=16\cdot126{,}5625=2025\ \text{нДж}.$$

Шаг 5 — закон сохранения энергии. Убыль энергии конденсаторов выделилась теплом в резисторе:

$$Q=W_0-W=2040-2025=15\ \text{нДж}.$$

Проверим себя. Та же разность в общем виде упрощается до $Q=\dfrac{C_1C_2(U_2-U_1)^2}{2(C_1+C_2)}=\dfrac{12\cdot20\cdot2^2}{2\cdot32}=\dfrac{960}{64}=15$ нДж — совпало. Заряды: у $C_1$ стало $12\cdot11{,}25=135$ нКл (было $120$), у $C_2$ — $20\cdot11{,}25=225$ нКл (было $240$); через резистор перетекло $15$ нКл, и сколько ушло с одного конденсатора, столько пришло на другой.

Почему модель законна. Конденсаторы и провода идеальные, утечки нет, излучением пренебрегаем — вся убыль энергии выделяется теплом в резисторе. Сопротивление резистора влияет лишь на то, как быстро идёт процесс, но не на итоговую теплоту.