Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048293

Что здесь происходит. Шарик соскальзывает с наклонной плоскости. Его разгоняет не только сила тяжести: внизу, в вершине прямого угла «высота — горизонталь», сидит неподвижный заряд того же знака и отталкивает шарик. По ходу движения кулоновская сила меняется и по величине, и по направлению, поэтому вместо сил удобнее использовать закон сохранения энергии с потенциальной энергией взаимодействия зарядов.

Дано: $m=50$ г $=0{,}05$ кг, $q_1=1$ мкКл $=10^{-6}$ Кл, $q_2=7{,}4$ мкКл $=7{,}4\cdot10^{-6}$ Кл, $h=0{,}5$ м, $\alpha=30^\circ$, $v_0=0$, $k=9\cdot10^9\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $v$ у основания.

Шаг 1 — геометрия. Наклонная плоскость — гипотенуза прямоугольного треугольника, высота $h$ — вертикальный катет, горизонталь — второй катет, неподвижный заряд — в вершине прямого угла. Шарик стартует с верхнего конца высоты, поэтому вначале он на расстоянии $r_1=h=0{,}5$ м от заряда. У основания наклонной плоскости он на конце горизонтального катета:

$$r_2=\dfrac{h}{\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{0{,}5}{1/\sqrt3}=0{,}5\sqrt3\approx0{,}866\ \text{м}.$$

Шаг 2 — знаки зарядов. Оба заряда заданы положительными числами — они одноимённые и отталкиваются. Шарик удаляется от неподвижного заряда ($r_2\gt r_1$), значит, кулоновская сила совершает положительную работу и тоже разгоняет шарик.

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Трения нет, реакция опоры перпендикулярна перемещению и работы не совершает. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $W=\dfrac{kq_1q_2}{r}$, потенциальная энергия в поле тяжести $mgh$:

$$mgh+\dfrac{kq_1q_2}{r_1}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{kq_1q_2}{r_2}.$$

Подставляем $r_1=h$, $r_2=\dfrac{h}{\mathrm{tg}\,\alpha}$:

$$v^2=2gh+\dfrac{2kq_1q_2}{mh}(1-\mathrm{tg}\,\alpha).$$

Шаг 4 — числа. $kq_1q_2=9\cdot10^9\cdot10^{-6}\cdot7{,}4\cdot10^{-6}=0{,}0666$ Дж·м. Электрическая часть энергии:

$$kq_1q_2\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)=0{,}0666\cdot(2-1{,}155)=0{,}0666\cdot0{,}845\approx0{,}0563\ \text{Дж},$$

тяжесть даёт $mgh=0{,}05\cdot10\cdot0{,}5=0{,}25$ Дж. Кинетическая энергия у основания $0{,}25+0{,}0563=0{,}3063$ Дж, откуда

$$v^2=\dfrac{2\cdot0{,}3063}{0{,}05}\approx12{,}25\ \text{м}^2/\text{с}^2,\qquad v=3{,}5\ \text{м/с}.$$

Проверим себя. Без заряда скорость была бы $\sqrt{2gh}=\sqrt{10}\approx3{,}16$ м/с. Отталкивание добавило энергии, и скорость стала больше — так и должно быть. Не оторвётся ли шарик от плоскости? Ближе всего к заряду он бывает в точке, где расстояние равно высоте треугольника, опущенной на гипотенузу: $h\cos\alpha\approx0{,}433$ м. Там кулоновская сила $\dfrac{0{,}0666}{0{,}433^2}\approx0{,}355$ Н направлена прямо от плоскости, а сила тяжести прижимает с составляющей $mg\cos\alpha\approx0{,}433$ Н — больше. Шарик всё время прижат к плоскости.

Почему модель законна. Шарик маленький — точечный заряд и материальная точка; неподвижный заряд — точечный; трения нет (сказано в условии); электростатическое поле потенциально, поэтому работа кулоновской силы равна убыли потенциальной энергии взаимодействия и не зависит от формы пути; шарик не отрывается от плоскости (проверено выше).