Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048119

Что здесь происходит. Это конический маятник: шарик на нити бегает по горизонтальной окружности, а нить описывает конус с углом $\alpha$ при вершине относительно вертикали. Отличие от обычной задачи — шарик заряжен и находится в электрическом поле, направленном (по рисунку) вертикально вниз. Нужно найти, за какое время шарик делает один оборот.

Шаг 1 — силы. На шарик действуют: сила тяжести $mg$ вниз, электрическая сила $qE$ и натяжение нити $T_{\text{н}}$ вдоль нити к точке подвеса. Заряд положительный, поле направлено вниз, значит, электрическая сила тоже направлена вниз. Обе вертикальные силы удобно объединить: шарик ведёт себя так, будто ускорение свободного падения стало $g'=g+\dfrac{qE}{m}$.

Шаг 2 — вертикаль. Шарик не поднимается и не опускается, поэтому вертикальная составляющая натяжения уравновешивает обе силы:

$$T_{\text{н}}\cos\alpha=mg+qE=mg'.$$

Шаг 3 — горизонталь. Радиус окружности $r=l\sin\alpha$. К центру окружности шарик тянет только горизонтальная составляющая натяжения — она и сообщает центростремительное ускорение (второй закон Ньютона):

$$T_{\text{н}}\sin\alpha=m\omega^2r=m\omega^2l\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad T_{\text{н}}=m\omega^2l.$$

Шаг 4 — частота и период. Подставим это натяжение в вертикальное уравнение: $m\omega^2l\cos\alpha=mg'$, откуда $\omega^2=\dfrac{g'}{l\cos\alpha}$, и период

$$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\alpha}{g+\dfrac{q}{m}E}}.$$

Масса шарика отдельно не нужна: все силы, кроме натяжения, пропорциональны массе или заряду, и после деления на $m$ остаётся только отношение $\dfrac{q}{m}$ — поэтому в условии оно и дано.

Шаг 5 — числа. Добавка от поля: $\dfrac{q}{m}E=3\cdot10^{-5}\cdot20=6\cdot10^{-4}$ м/с². Это в десятки тысяч раз меньше $g=10$ м/с², поэтому $g'\approx10{,}0006$ м/с² — практически $g$. Далее $l\cos\alpha=0{,}8\cdot0{,}866\approx0{,}693$ м и

$$T=2\cdot3{,}14\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}693}{10{,}0006}}\approx6{,}28\cdot\sqrt{0{,}0693}\approx6{,}28\cdot0{,}263\approx1{,}65\ \text{с}.$$

Проверим себя. Если бы шарик был заряжен отрицательно, электрическая сила смотрела бы вверх, $g'$ стало бы меньше и период — чуть больше; при положительном заряде период чуть меньше, чем без поля, — так и выходит по формуле. Ловушка: формула малых колебаний обычного маятника $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ дала бы $\approx1{,}78$ с — она здесь не подходит, у конического маятника работает не вся длина нити, а её вертикальная проекция $l\cos\alpha$.

Почему модель законна. Шарик — материальная точка, нить невесомая и нерастяжимая, поле однородное, поэтому электрическая сила $qE$ постоянна; движение равномерное по окружности, система отсчёта, связанная с точкой подвеса, инерциальная — применим второй закон Ньютона; сопротивлением воздуха пренебрегаем.