Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048291

Что здесь происходит. Одноимённые заряды отталкиваются, и шарики расходятся, отклоняя нити. Расходятся они до тех пор, пока для каждого шарика не уравновесятся три силы: тяжесть, натяжение нити и кулоновское отталкивание. По углу между нитями найдём расстояние между шариками и соотношение сил, а отсюда — массу.

Дано: $l=60$ см $=0{,}6$ м, $q=2{,}4$ мкКл $=2{,}4\cdot10^{-6}$ Кл, $2\alpha=90^\circ$, $k=9\cdot10^9\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $m$.

Шаг 1 — силы на один шарик. Шарики одинаковые, нити одинаковые, поэтому картина симметрична: шарики висят на одной высоте, и кулоновская сила, направленная вдоль линии между ними, горизонтальна. Кроме неё на шарик действуют сила тяжести $mg$ вниз и натяжение нити $T$ вдоль нити. Каждая нить отклонена от вертикали на $\alpha=45^\circ$.

Шаг 2 — расстояние между шариками. Нити и отрезок между шариками образуют равнобедренный треугольник с углом $90^\circ$ при вершине — крючке. Расстояние между шариками — его основание:

$$r=2l\sin\alpha=2\cdot0{,}6\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=0{,}6\sqrt2\ \text{м},\qquad r^2=0{,}72\ \text{м}^2.$$

Шаг 3 — кулоновская сила по закону Кулона:

$$F=\dfrac{kq^2}{r^2}=\dfrac{9\cdot10^9\cdot(2{,}4\cdot10^{-6})^2}{0{,}72}=\dfrac{9\cdot10^9\cdot5{,}76\cdot10^{-12}}{0{,}72}=\dfrac{0{,}05184}{0{,}72}=0{,}072\ \text{Н}.$$

Шаг 4 — условие равновесия (второй закон Ньютона при нулевом ускорении). Проецируем силы на горизонталь и вертикаль:

$$T\sin\alpha=F,\qquad T\cos\alpha=mg.$$

Делим первое равенство на второе — натяжение исчезает:

$$\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{F}{mg}\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{F}{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{0{,}072}{10\cdot1}=7{,}2\cdot10^{-3}\ \text{кг}=7{,}2\ \text{г}.$$

В общем виде: $m=\dfrac{kq^2}{4l^2g\sin^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha}$.

Проверим себя. При $45^\circ$ горизонтальная и вертикальная составляющие натяжения равны, поэтому кулоновская сила должна равняться силе тяжести: $mg=7{,}2\cdot10^{-3}\cdot10=0{,}072$ Н $=F$ — сходится. Натяжение $T=\dfrac{mg}{\cos45^\circ}\approx0{,}102$ Н — больше и тяжести, и кулоновской силы, как и должно быть у гипотенузы силового треугольника.

Почему модель законна. Шарики маленькие — считаем их точечными зарядами и материальными точками, закон Кулона применим. Нити лёгкие (их массой пренебрегаем) и диэлектрические — заряд с шариков не стекает. Колебания затухли — шарики покоятся в инерциальной системе отсчёта, сумма сил на каждый равна нулю.