Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048267

Что здесь происходит. После замыкания ключа по цепи бегут токи зарядки, и резисторы греются. Когда всё успокоится, токи прекратятся. Найти теплоту удобно не через токи (они меняются со временем), а через закон сохранения энергии: работа батареи равна энергии, оставшейся в конденсаторах, плюс выделившаяся теплота.

Дано: $\mathcal{E}=100$ В, $R_1=10$ Ом, $R_2=4$ Ом, $C_1=50$ мкФ, $C_2=40$ мкФ, вначале конденсаторы не заряжены. Найти: теплоту $Q$ к моменту равновесия.

Шаг 1 — читаем схему. По рисунку батарея, конденсатор $C_1$ и ключ К стоят последовательно в одной ветви. За ключом цепь разветвляется: резистор $R_1$ идёт прямо к нижнему проводу, а резистор $R_2$ и конденсатор $C_2$ последовательно образуют вторую ветвь к нижнему проводу. Значит, ветвь $R_2$–$C_2$ подключена параллельно резистору $R_1$.

Шаг 2 — состояние равновесия. Конденсатор $C_1$ стоит последовательно с батареей и постоянного тока не пропускает, поэтому в равновесии ток в цепи равен нулю. Тогда на резисторах нет напряжения ($U=IR=0$). Конденсатор $C_2$ через $R_2$ подключён к концам $R_1$, на котором напряжения нет, — значит, в конце $C_2$ не заряжен (заряд, который он успел набрать в процессе, стечёт через $R_1$ и $R_2$). Всё напряжение батареи приходится на $C_1$: $U_{C_1}=\mathcal{E}$.

Шаг 3 — заряд и работа батареи. Через батарею прошёл заряд, оставшийся на $C_1$: $q=C_1\mathcal{E}$. Батарея переносила его всё время при одной и той же ЭДС, поэтому её работа

$$A=\mathcal{E}q=C_1\mathcal{E}^2.$$

Шаг 4 — закон сохранения энергии. В конце энергия есть только у $C_1$: $W=\dfrac{C_1\mathcal{E}^2}{2}$. Остальное выделилось теплом:

$$Q=A-W=C_1\mathcal{E}^2-\dfrac{C_1\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{C_1\mathcal{E}^2}{2}=\dfrac{50\cdot10^{-6}\cdot100^2}{2}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25\ \text{Дж}.$$

Заметь: теплота от промежуточной зарядки и последующей разрядки $C_2$ уже учтена в этом балансе — считать её отдельно не нужно. Сопротивления $R_1$ и $R_2$ влияют только на то, как быстро идёт процесс, но не на полное количество теплоты.

Проверим себя. Теплота пропорциональна $C_1$ и квадрату ЭДС: при вдвое большей ЭДС она выросла бы в $4$ раза. От $C_2$, $R_1$, $R_2$ ответ не зависит. Половина работы батареи ушла в энергию конденсатора, половина — в тепло: $A=0{,}5$ Дж, $W=0{,}25$ Дж, $Q=0{,}25$ Дж.

Почему модель законна. Батарея идеальная (о внутреннем сопротивлении не сказано; оно лишь добавилось бы к резисторам и не изменило бы баланс энергии), излучением пренебрегаем, вся «потерянная» энергия выделяется теплом в резисторах; в конце установившийся режим — токов нет, конденсаторы находятся под постоянными напряжениями.